Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian, một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các công thức cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định tọa độ của điểm, vector trong không gian, cũng như các phương trình liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

- Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ

- Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian

Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x,y,z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M

Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a \) = (x,y,z) hoặc \(\overrightarrow a \) (x,y,z)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó:

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Hệ trục tọa độ trong không gian là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta biểu diễn vị trí của các điểm và vector bằng các số. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về hình học không gian.

1. Hệ trục tọa độ Oxyz

Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian là tập hợp ba đường thẳng Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau tại gốc O. Mỗi đường thẳng được gọi là một trục tọa độ. Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Mỗi điểm M trong không gian có thể được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm M. x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ, cao độ của điểm M.

2. Tọa độ của điểm

Để xác định tọa độ của một điểm M trong không gian, ta chiếu M vuông góc xuống các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Giao điểm của các đường chiếu với các trục tọa độ sẽ cho ta các tọa độ x, y, z của điểm M.

3. Tọa độ của vector

Một vector a trong không gian được xác định bởi bộ bốn số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của vector a. x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ, cao độ của vector a.

Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) là hai điểm trong không gian, thì vector AB có tọa độ (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).

4. Các phép toán trên vector

Phép cộng vector:a + b = (x_a + x_b, y_a + y_b, z_a + z_b)
Phép trừ vector:a - b = (x_a - x_b, y_a - y_b, z_a - z_b)
Phép nhân vector với một số thực: ka = (kx_a, ky_a, kz_a)

5. Tích vô hướng của hai vector

Tích vô hướng của hai vector a = (x_a, y_a, z_a) và b = (x_b, y_b, z_b) được tính bằng công thức:

a ⋅ b = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vector, kiểm tra tính vuông góc của hai vector.

6. Phương trình mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vector pháp tuyến n = (A, B, C) là: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

7. Phương trình đường thẳng trong không gian

Có nhiều dạng phương trình đường thẳng trong không gian, bao gồm:

Phương trình tham số:
- x = x₀ + at
- y = y₀ + bt
- z = z₀ + ct
Phương trình chính tắc:
(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

8. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vector AB.

Giải:AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)

Bài 2: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1, 2, 3) và có vector pháp tuyến n = (1, 1, 1).

Giải: 1(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 ⇔ x + y + z - 6 = 0

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!