THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu các bài tập trong mục 1 trang 19, 20, 21 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt trong học tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, kèm theo giải thích chi tiết để các em có thể tự học và hiểu sâu sắc nội dung bài học.
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(\int\limits_1^4 {\left| {x - \sqrt x - 2} \right|dx} = - \int\limits_1^4 {\left( {x - \sqrt x - 2} \right)dx} = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2x} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right.\)
\( = - \left( {\frac{{{4^2}}}{2} - \frac{{2.4\sqrt 4 }}{3} - 2.4 - \frac{1}{2} + \frac{{2.1.\sqrt 1 }}{3} + 2.1} \right) = \frac{{19}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right) = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 2,x = 1\) (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó, \(AD = 1,DE = 1,AC = 2,CB = 2\)
Diện tích S của hình phẳng là:
\(S = {S_{\Delta EAD}} + {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AD.DE + \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)
b) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} } \)
\( = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1 - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} + 2} \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x,\) \(g\left( x \right) = x\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) (H.4.16)
a) Giả sử \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\). Tính \({S_1}\), \({S_2}\) và từ đó suy ra S.
b) Tính \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là:
\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là: \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx} = \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\)
Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\)
b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)
\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\)
Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) (H.4.15).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)
\( = - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right. = - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 4.2} \right) + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - 4.3 - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right) = \frac{{16}}{3} + \frac{7}{3} = \frac{{23}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_o};{p_o}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \(p = D\left( x \right)\) và đồ thị hàm cung \(p = S\left( x \right)\) được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung: \(p = 0,14x + 2\), trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm M là giao điểm của hàm cầu \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung \(p = 0,14x + 2\)
Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung là:
\( - 0,36x + 9 = 0,14x + 2\), suy ra \(x = 14\) nên \(p = - 0,36.14 + 9 = \frac{{99}}{{25}}\). Do đó, \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\)
Đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm N(0 ;9)
Đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm P(0; 2)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 9} \right)dx} = \left( { - 0,18{x^2} + 9x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)
\( = - 0,{18.14^2} + 9.14 = 90,72\)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là:
\({S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {0,14x + 2} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( {0,14x + 2} \right)dx} = \left( {0,07{x^2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)\( = 0,{07.14^2} + 2.14 = 41,72\)
Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm này là: \({S_1} - OQ.QM = 90,72 - 14.\frac{{99}}{{25}} = 35,28\)
Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là: \(OQ.QM - {S_2} = 14.\frac{{99}}{{25}} - 41,72 = 13,72\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right) = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 2,x = 1\) (H.4.12).
a) Tính diện tích S của hình phẳng này.
b) Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó, \(AD = 1,DE = 1,AC = 2,CB = 2\)
Diện tích S của hình phẳng là:
\(S = {S_{\Delta EAD}} + {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AD.DE + \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}.2.2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\)
b) \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + 1} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x + 1} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} } \)
\( = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l} - 1\\ - 2\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + 1} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} - 1 - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} + 2} \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\) (H.4.15).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)
\( = - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\2\end{array} \right. = - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 4.2} \right) + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - 4.3 - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right) = \frac{{16}}{3} + \frac{7}{3} = \frac{{23}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x,\) \(g\left( x \right) = x\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) (H.4.16)
a) Giả sử \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\). Tính \({S_1}\), \({S_2}\) và từ đó suy ra S.
b) Tính \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là:
\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là: \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx} = \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\)
Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\)
b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)
\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\)
Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
\(\int\limits_1^4 {\left| {x - \sqrt x - 2} \right|dx} = - \int\limits_1^4 {\left( {x - \sqrt x - 2} \right)dx} = - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2x} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right.\)
\( = - \left( {\frac{{{4^2}}}{2} - \frac{{2.4\sqrt 4 }}{3} - 2.4 - \frac{1}{2} + \frac{{2.1.\sqrt 1 }}{3} + 2.1} \right) = \frac{{19}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_o};{p_o}} \right)\) của đồ thị hàm cầu \(p = D\left( x \right)\) và đồ thị hàm cung \(p = S\left( x \right)\) được gọi là điểm cân bằng.
Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang \(p = {p_o}\) và đường thẳng đứng \(x = 0\) được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:
Hàm cầu: \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung: \(p = 0,14x + 2\), trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm M là giao điểm của hàm cầu \(p = - 0,36x + 9\) và hàm cung \(p = 0,14x + 2\)
Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung là:
\( - 0,36x + 9 = 0,14x + 2\), suy ra \(x = 14\) nên \(p = - 0,36.14 + 9 = \frac{{99}}{{25}}\). Do đó, \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\)
Đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm N(0 ;9)
Đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\) đi qua điểm \(M\left( {14;\frac{{99}}{{25}}} \right)\) và điểm P(0; 2)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = - 0,36x + 9\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{14} {\left| { - 0,36x + 9} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( { - 0,36x + 9} \right)dx} = \left( { - 0,18{x^2} + 9x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)
\( = - 0,{18.14^2} + 9.14 = 90,72\)
Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số \(p = 0,14x + 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 14\) là:
\({S_2} = \int\limits_0^{14} {\left| {0,14x + 2} \right|dx} = \int\limits_0^{14} {\left( {0,14x + 2} \right)dx} = \left( {0,07{x^2} + 2x} \right)\left| \begin{array}{l}14\\0\end{array} \right.\)\( = 0,{07.14^2} + 2.14 = 41,72\)
Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm này là: \({S_1} - OQ.QM = 90,72 - 14.\frac{{99}}{{25}} = 35,28\)
Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là: \(OQ.QM - {S_2} = 14.\frac{{99}}{{25}} - 41,72 = 13,72\)
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về đạo hàm. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng liên quan đến đạo hàm là điều kiện cần thiết để đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Bài tập trang 19 tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tính đạo hàm của các hàm số đơn giản. Ví dụ:
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1.
Giải: f'(x) = 6x + 2.
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sinx + cosx.
Giải: g'(x) = cosx - sinx.
Bài tập trang 20 yêu cầu học sinh vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn, bao gồm hàm hợp và hàm lượng giác. Ví dụ:
Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số h(x) = sin(x2).
Giải: h'(x) = cos(x2) * 2x.
Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số k(x) = ex * cosx.
Giải: k'(x) = ex * cosx - ex * sinx.
Bài tập trang 21 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế, chẳng hạn như tìm vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động. Ví dụ:
Bài 5: Một vật chuyển động với phương trình s(t) = t3 - 3t2 + 2t. Tìm vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 2.
Giải:
Vận tốc: v(t) = s'(t) = 3t2 - 6t + 2. v(2) = 3(2)2 - 6(2) + 2 = 2.
Gia tốc: a(t) = v'(t) = 6t - 6. a(2) = 6(2) - 6 = 6.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải các bài tập về đạo hàm. Chúc các em học tốt!
