Giải bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường xoay quanh các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải các bài tập Toán 12 mới nhất, chính xác nhất.
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\).
Đề bài
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:
\(\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = 2\sin x - \cot x + C} } \)
Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\) nên \(2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C = - 1\), suy ra \(C = - \sqrt 2 \)
Do đó, \(F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 \).
Giải bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định hàm số cần tối ưu hóa: Đọc kỹ đề bài để xác định hàm số biểu diễn đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
- Tìm tập xác định của hàm số: Xác định miền giá trị của biến số trong bài toán.
- Tính đạo hàm của hàm số: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm cấp một của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các điểm biên của tập xác định để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Phân tích chi tiết bài toán 4.29
Để minh họa, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể về bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cho trước sao cho chu vi nhỏ nhất.
Bước 1: Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x và y. Diện tích của hình chữ nhật là xy = S (S là hằng số). Hàm số cần tối ưu hóa là chu vi P = 2(x + y).
Bước 2: Tập xác định của hàm số là x > 0 và y > 0.
Bước 3: Từ xy = S, ta có y = S/x. Thay vào hàm số chu vi, ta được P(x) = 2(x + S/x).
Bước 4: Tính đạo hàm của P(x): P'(x) = 2(1 - S/x2). Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x2 = S, suy ra x = √S (do x > 0).
Bước 5: Khi x = √S, ta có y = S/√S = √S. Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh bằng √S.
Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài bài tập 4.29, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
- Tìm kích thước của một vật thể sao cho thể tích hoặc diện tích lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
- Tìm điểm nằm trên một đường cong sao cho khoảng cách đến một điểm cho trước nhỏ nhất.
Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị, và các phương pháp tối ưu hóa. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau cũng rất quan trọng để nâng cao kỹ năng giải toán.
Lời khuyên khi giải bài tập về đạo hàm
Khi giải các bài tập về đạo hàm, học sinh nên lưu ý một số điều sau:
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
- Vẽ sơ đồ hoặc hình ảnh minh họa để giúp hiểu rõ bài toán.
- Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.
- Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán.
Montoan.com.vn hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập 4.29 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
