Giải bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)\). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P). c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)\).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
b) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) thì có phương trình là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D = - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}} \right)\)
c) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết
a) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là: \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2.2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{3} = 2\)
b) Mặt phẳng (P) có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà (Q) đi qua điểm A nên phương trình mặt phẳng (Q) là: \(x - 1 - 2\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 7 = 0\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;2; - 2} \right) \Rightarrow \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;1;1} \right)\)
Mặt phẳng (R) đi qua điểm A và nhận vectơ \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (R) là: \(y + 1 + z - 2 = 0 \Leftrightarrow y + z - 1 = 0\)
Giải bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài tập 5.42 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh khảo sát hàm số bậc ba bằng cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một dạng bài tập điển hình trong chương trình Toán 12, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Phân tích đề bài
Để giải bài tập này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.
- Tìm giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và các điểm đặc biệt (giao điểm với trục tọa độ).
- Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã thu thập.
Lời giải chi tiết bài tập 5.42
Đề bài: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.
Giải:
1. Tập xác định
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 xác định trên tập số thực R.
2. Đạo hàm và cực trị
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0, ta được: 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Ta có bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | + |
| y | NB | ĐC | TC | NB |
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2.
3. Khoảng đồng biến, nghịch biến
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
4. Giới hạn và tiệm cận
limx→+∞ y = +∞
limx→-∞ y = -∞
Hàm số không có tiệm cận.
5. Vẽ đồ thị
Dựa vào các thông tin đã thu thập, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số trước khi thực hiện các phép toán.
- Sử dụng bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số một cách chính xác.
- Vẽ đồ thị hàm số một cách cẩn thận, chú ý đến các điểm đặc biệt và tiệm cận.
Ứng dụng của bài tập
Bài tập khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật. Nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và sử dụng hàm số để mô tả và giải quyết các bài toán thực tế.
Kết luận
Bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.
