THCS
THCS
Bài tập 4.10 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường xoay quanh các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.10, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính: a) \(\int\limits_0^3 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} \); b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \sin x} \right)dx} \); c) \(\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + 3{x^2}} \right)dx} \); d) \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2x + 1} \right|dx} \).
Đề bài
Tính:
a) \(\int\limits_0^3 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} \);
b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \sin x} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + 3{x^2}} \right)dx} \);
d) \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2x + 1} \right|dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(\int\limits_0^3 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^3 {\left( {9{x^2} - 6x + 1} \right)dx} = 9\int\limits_0^3 {{x^2}dx} - 6\int\limits_0^3 {xdx} + \int\limits_0^3 {dx} \)
\( = 3{x^3}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. - 3{x^2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. + x\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = 81 - 27 + 3 = 57\)
b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. - \cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \frac{\pi }{2} + 1\)
c) \(\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + 3{x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} + 3\int\limits_0^1 {{x^2}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{{\ln {e^2}}}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + {x^3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{{{e^2}}}{2} + \frac{1}{2}\)
d) \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2x + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{\frac{{ - 1}}{2}} {\left| {2x + 1} \right|dx} + \int\limits_{\frac{{ - 1}}{2}}^2 {\left| {2x + 1} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^{\frac{{ - 1}}{2}} {\left( {2x + 1} \right)dx} + \int\limits_{\frac{{ - 1}}{2}}^2 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)
\( = - \left( {{x^2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{2}\\ - 1\end{array} \right. + \left( {{x^2} + x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\\frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. = - \left[ {{{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{2} - {{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right] + \left[ {{2^2} + 2 - {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{2}} \right]\)
\( = \frac{1}{4} + \frac{{25}}{4} = \frac{{13}}{2}\)
Bài tập 4.10 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, từ đó xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số và yêu cầu tìm cực trị của hàm số đó. Để làm được điều này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Để giải bài tập 4.10 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số
Giả sử hàm số được cho là f(x). Chúng ta sẽ tính đạo hàm bậc nhất f'(x) bằng cách sử dụng các quy tắc đạo hàm đã học.
Bước 2: Tìm các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định
Chúng ta sẽ giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0. Ngoài ra, chúng ta cũng cần xác định các điểm mà đạo hàm bậc nhất không xác định.
Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định
Chúng ta sẽ xét dấu của đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định để xác định các điểm cực trị. Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị
Chúng ta sẽ tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ giải bài tập 4.10 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức với hàm số này.
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm bậc nhất
Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Trên khoảng (0, 2), f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (2, +∞), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Vậy, x = 0 là điểm cực đại và x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị
f(0) = 2
f(2) = -2
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2.
Bài tập 4.10 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
