Giải bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm hàm số f(x) biết rằng \(f'\left( x \right) = x - \frac{1}{{{x^2}}} + 2\) và \(f\left( 1 \right) = 2\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {x - \frac{1}{{{x^2}}} + 2} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + 2x + C\).

Lại có: \(f\left( 1 \right) = 2\) nên \(\frac{1}{2} + 1 + 2 + C = 2 \Rightarrow C = \frac{{ - 3}}{2}\). Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x} + 2x - \frac{3}{2}\).

Giải bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học về Đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm đạo hàm của hàm số và phân tích các tính chất của đạo hàm.

Nội dung bài tập 19

Bài tập 19 thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:

Tính đạo hàm của hàm số cho trước.
Xác định khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.
Tìm cực trị của hàm số.
Giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.

Lời giải chi tiết bài tập 19

Để giải bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2, các em cần nắm vững các kiến thức sau:

Quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit) và các quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, hàm ẩn.
Ý nghĩa của đạo hàm: Hiểu rõ ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm.
Ứng dụng của đạo hàm: Biết cách sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán về tìm cực trị, khảo sát hàm số, và các bài toán thực tế.

Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập 19:

Phần 1: Tính đạo hàm

Để tính đạo hàm của hàm số, các em cần áp dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học. Ví dụ, nếu hàm số có dạng f(x) = u(x) + v(x), thì đạo hàm của f(x) sẽ là f'(x) = u'(x) + v'(x).

Phần 2: Xác định khoảng đơn điệu

Để xác định khoảng đơn điệu của hàm số, các em cần xét dấu của đạo hàm. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm âm trên một khoảng, thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Phần 3: Tìm cực trị

Để tìm cực trị của hàm số, các em cần giải phương trình đạo hàm bằng 0 và xét dấu của đạo hàm tại các điểm nghiệm. Nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực tiểu.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu của đạo hàm:

Với x < 0, f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến
Với 0 < x < 2, f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến
Với x > 2, f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Lưu ý khi giải bài tập

Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Nắm vững các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và chính xác.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Tổng kết

Bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và có thể tự giải các bài tập tương tự.