Giải bài tập 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho từng câu hỏi trong bài tập, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúng tôi cam kết mang đến những tài liệu học tập chất lượng, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm.
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\); b) \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}\).
Đề bài
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét khoảng đồng biến của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{2\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 4 - 2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{\left( {x + 2} \right)}} > 0\;\forall x \ne - 2\)
Do đó, hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)'\left( {x - 3} \right) - \left( {{x^2} + x + 4} \right)\left( {x - 3} \right)'}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) - {x^2} - x - 4}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 6x - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\) và \(\left( {3;7} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {7; + \infty } \right)\).
Giải bài tập 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài tập 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các định nghĩa và tính chất của giới hạn để tính giới hạn của hàm số tại một điểm. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập trong chương này là vô cùng quan trọng, vì nó là cơ sở cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 12.
Nội dung chi tiết bài tập 1.3
Bài tập 1.3 bao gồm các câu hỏi khác nhau, yêu cầu học sinh:
- Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị cụ thể.
- Sử dụng các định lý về giới hạn để đơn giản hóa biểu thức và tính giới hạn.
- Xác định xem một hàm số có giới hạn tại một điểm hay không.
Lời giải chi tiết từng câu hỏi
Câu 1: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
(x2 - 4) = (x - 2)(x + 2)
Do đó:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4
Câu 2: Tính limx→0 sin(x) / x
Đây là một giới hạn quen thuộc trong toán học. Giới hạn này bằng 1:
limx→0 sin(x) / x = 1
Câu 3: Tính limx→∞ (2x + 1) / (x - 3)
Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho x:
limx→∞ (2x + 1) / (x - 3) = limx→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = 2 / 1 = 2
Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải
Trong quá trình giải các bài tập về giới hạn, học sinh thường gặp các dạng bài sau:
- Dạng 1: Tính giới hạn của hàm số đa thức: Sử dụng trực tiếp các định lý về giới hạn của hàm đa thức.
- Dạng 2: Tính giới hạn của hàm số hữu tỉ: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn biểu thức và sau đó tính giới hạn.
- Dạng 3: Tính giới hạn của hàm số lượng giác: Sử dụng các giới hạn lượng giác đặc biệt như limx→0 sin(x) / x = 1 và limx→0 (1 - cos(x)) / x = 0.
- Dạng 4: Tính giới hạn vô cùng: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x để đơn giản hóa biểu thức.
Mẹo học tốt môn Toán 12
- Nắm vững kiến thức nền tảng: Hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và định lý về giới hạn.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài.
- Sử dụng tài liệu tham khảo: Tham khảo các sách giáo khoa, sách bài tập và các trang web học toán uy tín.
- Hỏi thầy cô giáo: Nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo để được hướng dẫn và giải đáp.
Kết luận
Bài tập 1.3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
