Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Tổng quan

Chương 1 trong sách Giải Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để nghiên cứu các đặc điểm của hàm số, từ đó vẽ được đồ thị chính xác. Đây là một phần quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Để nắm vững kiến thức, học sinh cần hiểu rõ các khái niệm cơ bản về đạo hàm, các loại cực trị, điểm uốn, và cách xác định tính đơn điệu, giới hạn của hàm số.

I. Các khái niệm cơ bản

1. Đạo hàm: Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm.
2. Cực trị của hàm số: Các điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó.
3. Điểm uốn: Điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
4. Giới hạn của hàm số: Giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số tiến tới một giá trị xác định.

II. Phương pháp khảo sát hàm số bằng đạo hàm

Để khảo sát một hàm số bằng đạo hàm, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp nhất f'(x).
3. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định).
4. Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
5. Tìm cực trị của hàm số.
6. Tính đạo hàm cấp hai f''(x).
7. Tìm điểm uốn của hàm số.
8. Xác định giới hạn của hàm số tại vô cùng và các điểm gián đoạn.
9. Vẽ đồ thị hàm số.

III. Các dạng bài tập thường gặp

• Bài tập về tìm cực trị: Yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
• Bài tập về tìm điểm uốn: Yêu cầu xác định tọa độ điểm uốn của đồ thị hàm số.
• Bài tập về khảo sát hàm số: Yêu cầu khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
• Bài tập về ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế: Ví dụ như bài toán tối ưu hóa.

IV. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện khảo sát hàm số như sau:

1. Tập xác định: D = R
2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
3. Điểm tới hạn: y' = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Khoảng đồng biến: (-∞; 0) và (2; +∞)
5. Khoảng nghịch biến: (0; 2)
6. Cực đại: x = 0, y = 2
7. Cực tiểu: x = 2, y = -2
8. Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
9. Điểm uốn: y'' = 0 => x = 1, y = 0

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về chương này, bạn nên luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách giáo khoa và các đề thi thử. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, phong phú, kèm theo lời giải chi tiết, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.

VI. Kết luận

Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một chương quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán liên quan đến hàm số và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Chúc bạn học tập tốt!