Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\); b) \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải chi tiết

a) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Sự biến thiên:

\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 2

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;1).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 3

b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

\(y' = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = - 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = - \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = - 1\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 4

3. Đồ thị:

Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 5

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 3).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 3;0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; -1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bạn đang khám phá nội dung Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức trong chuyên mục đề thi toán 12 trên nền tảng đề thi toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai, bao gồm xác định các yếu tố của hàm số (hệ số a, b, c), tìm tập xác định, tập giá trị, và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

Nội dung bài tập 1.22

Bài tập 1.22 thường yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:

Xác định hàm số bậc hai dựa trên các thông tin cho trước.
Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng, và giao điểm với các trục tọa độ của đồ thị hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.
Giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của hàm số bậc hai trong thực tế.

Lời giải chi tiết bài tập 1.22 trang 32

Để giải bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số. Đọc kỹ đề bài để xác định chính xác hàm số bậc hai cần xét.
Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh. Sử dụng công thức x_đỉnh = -b/(2a) để tìm hoành độ đỉnh, sau đó thay vào hàm số để tìm tung độ đỉnh.
Bước 3: Tìm trục đối xứng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai là đường thẳng x = x_đỉnh.
Bước 4: Tìm giao điểm với các trục tọa độ.

Giao điểm với trục Oy: Thay x = 0 vào hàm số để tìm tung độ giao điểm.
Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình bậc hai f(x) = 0 để tìm hoành độ giao điểm.

Bước 5: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; x_đỉnh) và đồng biến trên khoảng (x_đỉnh; +∞).
Nếu a < 0: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; x_đỉnh) và nghịch biến trên khoảng (x_đỉnh; +∞).

Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số. Dựa vào các thông tin đã tìm được ở các bước trên để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần xét là y = x² - 4x + 3.

Bước 1: Xác định hàm số. Hàm số đã được xác định: y = x² - 4x + 3. Hệ số a = 1, b = -4, c = 3.

Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh. x_đỉnh = -(-4)/(2*1) = 2. y_đỉnh = 2² - 4*2 + 3 = -1. Vậy tọa độ đỉnh là (2; -1).

Bước 3: Tìm trục đối xứng. Trục đối xứng là x = 2.

Bước 4: Tìm giao điểm với các trục tọa độ.

Giao điểm với trục Oy: Thay x = 0 vào hàm số, ta được y = 3. Vậy giao điểm là (0; 3).
Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình x² - 4x + 3 = 0, ta được x₁ = 1 và x₂ = 3. Vậy giao điểm là (1; 0) và (3; 0).

Bước 5: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến. Vì a = 1 > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số. Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x² - 4x + 3.

Lưu ý khi giải bài tập

Đọc kỹ đề bài và xác định chính xác yêu cầu của bài toán.
Sử dụng đúng công thức và phương pháp giải.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.

Kết luận

Bài tập 1.22 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Hy vọng với lời giải chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.