THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 67, 68 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right)\).
a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).
b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \).
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k + \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;3;14} \right)\)
\(2\overrightarrow a = 2\left( {\overrightarrow i + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a = \left( {2;0;10} \right)\)
Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).
Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).
Trả lời Luyện tập 1 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);
+ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right) = \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\)
Trả lời Hoạt động 2 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right)\).
a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).
b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \).
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k + \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;3;14} \right)\)
\(2\overrightarrow a = 2\left( {\overrightarrow i + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a = \left( {2;0;10} \right)\)
Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).
Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).
Trả lời Luyện tập 1 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);
+ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right) = \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\)
Trả lời Hoạt động 2 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Trả lời Luyện tập 2 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\)
Trả lời Luyện tập 2 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\)
Mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các chương trình học tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và phương pháp giải bài tập trong mục này là vô cùng cần thiết.
Bài tập 1 yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm đã học. Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số y = x3 + 2x2 - 5x + 1, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa:
y' = 3x2 + 4x - 5
Bài tập 2 yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số y = sin(2x). Để giải bài tập này, học sinh cần sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
y' = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)
Bài tập 3 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Để khảo sát hàm số này, ta thực hiện các bước sau:
Khi giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, học sinh cần lưu ý:
Ngoài sách giáo khoa, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
