Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Chào mừng các em học sinh đến với bài học đầu tiên trong chương 1 của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này tập trung vào việc tìm hiểu về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, một kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập vận dụng đa dạng để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa và các đề thi.

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 1 trong chương 1 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 giới thiệu về một trong những nội dung quan trọng nhất của giải tích: tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để khảo sát hàm số, vẽ đồ thị hàm số và giải quyết nhiều bài toán thực tế.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên.

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một lân cận nào đó. Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một lân cận nào đó.

Để tìm cực trị của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng.
Xét dấu của f'(x) trong các khoảng xác định bởi các điểm dừng.
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực đại.
Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực tiểu.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.

2. Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.

3. Xét dấu của f'(x):

Khoảng	f'(x)	Tính đơn điệu của f(x)
(-∞, 0)	+	Đồng biến
(0, 2)	-	Nghịch biến
(2, +∞)	+	Đồng biến

4. Kết luận:

Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

IV. Bài tập vận dụng

Các em hãy tự giải các bài tập trong sách giáo khoa và các bài tập bổ sung để củng cố kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đừng quên sử dụng đạo hàm để xác định tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số.

montoan.com.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!