THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc, giúp bạn hiểu rõ bản chất của hai công thức này và áp dụng chúng một cách linh hoạt vào giải quyết các bài toán thực tế.
1. Công thức xác suất toàn phần
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\) |
Ví dụ 1: Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.
Giải:
Gọi A là biến cố: “Thứ ba, ông An đi làm bằng xe máy”; B là biến cố: “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe máy”. Ta cần tính P(B). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\)
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A ) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36\)
2. Công thức Bayes
Cho A và B là hai biến cố, với P(B) > 0. Khi đó, ta có công thức sau: \(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}}\) |
Ví dụ 2: Trong một kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00. Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu mọt học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.
Giải:
Gọi A là biến cố: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00”; B là biến cố: “Học sinh đó đỗ đại học”.
Ta cần tính P(A|B). Theo công thức Bayes, ta cần biết: \(P(A),P(\overline A ),P(B|A)\) và \(P(B|\overline A )\).
Ta có: P(A) = 0,8; \(P(\overline A )\) = 1 – P(A) = 1 – 0,8 = 0,2.
P(B|A) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00.
\( \Rightarrow P(B|A) = 0,6\).
\(P(B|\overline A )\) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00.
\( \Rightarrow P(B|\overline A ) = 0,7\).
Thay vào công thức Bayes ta được:
\(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}} = \frac{{0,8.0,6}}{{0,8.0,6 + 0,2.0,7}} \approx 0,7742\)
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, hai công thức xác suất toàn phần và Bayes đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng áp dụng hai công thức này là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác loại trừ lẫn nhau.
Phát biểu: Giả sử A là một biến cố. Gọi B1, B2, ..., Bn là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và hợp của chúng bằng A (B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = A). Khi đó, xác suất của A được tính theo công thức:
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + ... + P(Bn)P(A|Bn)
Trong đó:
Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.
Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức:
P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)
Trong đó:
Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là bao nhiêu?
Giải:
Gọi A là biến cố sản phẩm là sản phẩm lỗi.
Gọi B1 là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.
Gọi B2 là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.
Ta có: P(B1) = 0.6, P(B2) = 0.4, P(A|B1) = 0.02, P(A|B2) = 0.03
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) = 0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.03 = 0.024
Vậy, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là 2.4%.
Để nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập về công thức xác suất toàn phần và Bayes, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Công thức xác suất toàn phần và Bayes là những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán xác suất. Việc hiểu rõ lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán liên quan đến hai công thức này trong các kỳ thi và trong thực tế.
