Giải Toán 12 Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian - SGK Kết nối tri thức

Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian - Tổng quan

Chương 5 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 đi sâu vào việc ứng dụng phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian. Nội dung chính bao gồm các kiến thức về vector, các phép toán vector, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng trong không gian, và mối quan hệ giữa chúng.

1. Vector trong không gian

Vector trong không gian là một khái niệm cơ bản và quan trọng. Một vector được xác định bởi độ dài và hướng. Trong không gian ba chiều, một vector được biểu diễn bằng ba thành phần, tương ứng với ba trục tọa độ x, y, z. Các phép toán cộng, trừ vector, nhân vector với một số thực, và tích vô hướng của hai vector đều được định nghĩa và có các tính chất tương tự như trong mặt phẳng.

2. Các phép toán vector

Các phép toán vector đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian. Việc thành thạo các phép toán này giúp đơn giản hóa các bài toán phức tạp. Cụ thể:

Phép cộng vector: Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
Phép trừ vector: Tìm vector cộng của vector thứ nhất với vector đối của vector thứ hai.
Phép nhân vector với một số thực: Nhân từng thành phần của vector với số thực đó.
Tích vô hướng của hai vector: Được tính bằng tổng tích các thành phần tương ứng. Tích vô hướng có liên quan đến góc giữa hai vector và độ dài của chúng.

3. Phương trình đường thẳng trong không gian

Có nhiều dạng phương trình để biểu diễn một đường thẳng trong không gian:

Phương trình tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, trong đó (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là một vector chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

Việc chuyển đổi giữa các dạng phương trình này là một kỹ năng quan trọng.

4. Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng trong không gian có dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng. Để xác định một mặt phẳng, cần biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vector pháp tuyến của mặt phẳng.

5. Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng

Việc xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là một phần quan trọng của chương này. Có các trường hợp sau:

Đường thẳng song song với mặt phẳng.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Đường thẳng cắt mặt phẳng.

Để xác định vị trí tương đối, ta có thể sử dụng vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng.

6. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Giải: Tọa độ trung điểm I được tính theo công thức: I((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2; (z_A + z_B)/2) = I((1+3)/2; (2+4)/2; (3+5)/2) = I(2; 3; 4).

Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và có vector pháp tuyến n = (1; -1; 2).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0 => x - y + 2z - 5 = 0.

Kết luận

Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian là một chương quan trọng trong môn Toán 12. Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và tự tin. Hãy luyện tập thường xuyên và tham khảo các tài liệu bổ sung để đạt kết quả tốt nhất.