Bài 17. Phương trình mặt cầu

Bài 17. Phương trình mặt cầu - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

1. Khái niệm mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm của mặt cầu. Khoảng cách này được gọi là bán kính của mặt cầu.

Định nghĩa: Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là tập hợp tất cả các điểm M(x; y; z) thỏa mãn phương trình:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

2. Phương trình mặt cầu

2.1. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó:

• (a; b; c) là tọa độ tâm của mặt cầu
• R là bán kính của mặt cầu

2.2. Phương trình tổng quát của mặt cầu

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Với điều kiện: a² + b² + c² - d > 0

Khi đó, tâm của mặt cầu là I(a; b; c) và bán kính là R = √(a² + b² + c² - d)

3. Các dạng bài tập thường gặp

3.1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình

Cho phương trình mặt cầu (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 3)² = 9. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

Giải:

Từ phương trình, ta có: a = 2, b = -1, c = 3, R² = 9 => R = 3

Vậy tâm của mặt cầu là I(2; -1; 3) và bán kính R = 3.

3.2. Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 5.

Giải:

Áp dụng phương trình chính tắc của mặt cầu, ta có:

(x - 1)² + (y - 0)² + (z + 2)² = 5²

(x - 1)² + y² + (z + 2)² = 25

3.3. Xác định điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Cho phương trình x² + y² + z² - 2mx + 4y + 6z + c = 0. Xác định giá trị của m để phương trình là phương trình mặt cầu.

Giải:

Để phương trình là phương trình mặt cầu, ta cần có điều kiện:

m² + 2² + 3² - c > 0

m² + 4 + 9 - c > 0

m² + 13 - c > 0

m² > c - 13

4. Bài tập vận dụng

1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = 4.
2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x + 3)² + (y - 1)² + z² = 16.
3. Tìm giá trị của m để phương trình x² + y² + z² + 2mx - 4y + 6z + 13 = 0 là phương trình mặt cầu.

5. Kết luận

Bài học về phương trình mặt cầu cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về hình học không gian. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài kiểm tra.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập đã trình bày, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 17. Phương trình mặt cầu - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tốt!