THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt cầu trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về phương trình mặt cầu, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về định nghĩa, phương trình tổng quát của mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu, và các ứng dụng thực tế của kiến thức này.
1. Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) |
Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E(0 < \alpha ,\beta < 90)\) thì có tọa độ \(M(\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ })\). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: \({10^ \circ }N,{15^ \circ }E\) đến vị trí Q: \({80^ \circ }N,{70^ \circ }E\).
Giải:
Ta có: \(P(\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(Q(\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Suy ra: \(\overrightarrow {OP} = (\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(\overrightarrow {OQ} = (\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Do đó,
\(\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} = \cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ } + \cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ } + \sin {10^ \circ }\sin {80^ \circ } \approx 0,2691\).
Vì P, Q thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1\).
Do đó \(\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,2691.\) Suy ra, \(\widehat {POQ} \approx 74,{3893^ \circ }\).
Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là \(2\pi \approx 6,2832\), nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{74,3893}}{{360}}.6,2832 \approx 1,2983\).
Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).
Phương trình mặt cầu là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Phương trình (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi R > 0.
Từ phương trình chính tắc (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², ta có:
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4.
Giải:
Tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3).
Bán kính của mặt cầu là R = √4 = 2.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 0; 0) và đi qua điểm A(1; 2; 3).
Giải:
Bán kính của mặt cầu là R = IA = √((1 - 0)² + (2 - 0)² + (3 - 0)²) = √(1 + 4 + 9) = √14.
Phương trình của mặt cầu là x² + y² + z² = 14.
Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Ngoài những kiến thức cơ bản trên, bạn có thể tìm hiểu thêm về:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao!
