THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về cách biểu diễn và thực hiện các phép toán với vecto trong hệ tọa độ.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về tọa độ của vecto, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số, và đặc biệt là các tích vô hướng, tích có hướng cùng ứng dụng của chúng trong giải toán.
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
Các phép toán vecto cơ bản
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\) \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\) \(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực |
Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\] Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\] |
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\) |
3. Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn
Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục cho trước (đơn vị đo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B (940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?
Giải:
Gọi C(x;y;z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC.
Do đó, \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{940 - 800}}{2};\frac{{550 - 500}}{2};\frac{{8 - 7}}{2}} \right) = \left( {70;25;0,5} \right)\).
Mặt khác, \(\overrightarrow {BC} = (x - 940;y - 550;z - 8)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 940 = 70\\y - 550 = 25\\z - 8 = 0,5\end{array} \right.\).
Từ đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1010\\y = 575\\z = 8,5\end{array} \right.\) và vì vậy C(1010;575;8,5).
Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010;575;8,5).
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần hình học vecto đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là việc ứng dụng biểu thức tọa độ để giải quyết các bài toán. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào các dạng bài tập khác nhau.
Một vectơ a trong không gian được xác định bởi tọa độ a = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực. Tọa độ của vectơ là các số thực xác định vị trí của điểm cuối vectơ so với điểm đầu.
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng:
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) là một vectơ c = a x b có tọa độ được tính bằng công thức:
c = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2)
Ứng dụng của tích có hướng:
Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và a ⋅ b.
a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Việc nắm vững lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và hữu ích.
