Giải bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, chương trình Kết nối tri thức. Bài tập này thường xoay quanh các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 2.31 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(G\left( {2;1;0} \right)\). Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là A. \(\left( {5;4; - 1} \right)\). B. \(\left( { - 5; - 4;1} \right)\). C. \(\left( {1;2; - 1} \right)\). D. \(\left( { - 1; - 2;1} \right)\)
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(G\left( {2;1;0} \right)\). Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là
A. \(\left( {5;4; - 1} \right)\).
B. \(\left( { - 5; - 4;1} \right)\).
C. \(\left( {1;2; - 1} \right)\).
D. \(\left( { - 1; - 2;1} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.2 - 1 - 0 = 5\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.1 - 0 + 1 = 4\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.0 + 1 - 2 = - 1\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm C là \(\left( {5;4; - 1} \right)\)
Chọn A
Giải bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Phân tích chi tiết
Bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định hàm số cần tối ưu hóa: Đọc kỹ đề bài để xác định hàm số biểu diễn đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
- Tìm tập xác định của hàm số: Xác định miền giá trị mà biến số có thể nhận.
- Tính đạo hàm của hàm số: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm cấp nhất của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các điểm biên của tập xác định để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Ví dụ minh họa
Giả sử bài tập 2.31 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R. Ta có thể giải bài toán này như sau:
- Gọi x là nửa độ dài cạnh đáy của hình chữ nhật. Khi đó, chiều cao của hình chữ nhật là √(R² - x²).
- Diện tích hình chữ nhật là S = 2x√(R² - x²).
- Tập xác định của x là [0, R].
- Tính đạo hàm của S theo x: S' = 2√(R² - x²) - (2x²)/√(R² - x²).
- Giải phương trình S' = 0 để tìm x = R/√2.
- Tính giá trị của S tại x = R/√2 và tại các điểm biên x = 0 và x = R.
- So sánh các giá trị này để tìm giá trị lớn nhất của S.
Lưu ý quan trọng
Khi giải các bài toán tối ưu hóa bằng phương pháp đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:
- Kiểm tra xem hàm số có đạt cực trị tại các điểm tìm được hay không.
- Xem xét các điểm biên của tập xác định.
- Đảm bảo rằng giá trị tìm được là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong toàn bộ tập xác định.
Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm không chỉ là công cụ quan trọng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, kỹ thuật,... Ví dụ, đạo hàm có thể được sử dụng để tính vận tốc, gia tốc, tối ưu hóa chi phí, lợi nhuận,...
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức và các tài liệu tham khảo khác.
Kết luận
Bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập điển hình để rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và làm bài tập môn Toán.
