Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp thu nhất, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích \(1\;000c{m^3}\). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/\(c{m^2}\), trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/\(c{m^2}\). Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Đề bài
Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích \(1\;000c{m^3}\). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/\(c{m^2}\), trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/\(c{m^2}\). Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, \(x > 0\))
Chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi .{x^2}}}\left( {cm} \right)\)
Chi phí để sản xuất một chiếc bình là: \(T\left( x \right) = 2.1,2.\pi .{x^2} + 0,75.\frac{{2000}}{x} = 2,4\pi .{x^2} + \frac{{1500}}{x}\) (nghìn đồng)
Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.
\(T'\left( x \right) = 4,8\pi x - \frac{{1500}}{{{x^2}}},T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}\) (thỏa mãn)
Bảng biến thiên:
Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là \(\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}cm\) và chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi .{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}}\left( {cm} \right)\)
Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài tập 1.15 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức yêu cầu tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị nhất định. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn hàm số, đặc biệt là các giới hạn cơ bản và các quy tắc tính giới hạn.
Nội dung bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài tập bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu tính giới hạn của các hàm số khác nhau. Các hàm số này có thể là hàm đa thức, hàm phân thức, hoặc các hàm số phức tạp hơn. Việc xác định đúng dạng của hàm số và áp dụng các quy tắc tính giới hạn phù hợp là rất quan trọng để giải bài tập này một cách chính xác.
Phương pháp giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
- Xác định dạng của hàm số: Xác định xem hàm số thuộc dạng nào (đa thức, phân thức, căn thức, lượng giác, v.v.).
- Áp dụng các quy tắc tính giới hạn: Sử dụng các quy tắc tính giới hạn cơ bản như giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, và giới hạn của hàm hợp.
- Sử dụng các giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đặc biệt như lim (sin x)/x = 1 khi x → 0, lim (1 + x)^(1/x) = e khi x → 0.
- Biến đổi đại số: Thực hiện các phép biến đổi đại số để đưa hàm số về dạng đơn giản hơn, dễ tính giới hạn hơn.
- Kiểm tra kết quả: Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị x tiến tới giá trị giới hạn vào hàm số để xem kết quả có hợp lý hay không.
Lời giải chi tiết bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Câu a: Tính lim (x^2 - 1) / (x - 1) khi x → 1.
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1). Khi đó, lim (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = lim (x + 1) = 1 + 1 = 2.
Câu b: Tính lim (x^3 + 8) / (x + 2) khi x → -2.
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x + 2)(x^2 - 2x + 4). Khi đó, lim (x^3 + 8) / (x + 2) = lim (x + 2)(x^2 - 2x + 4) / (x + 2) = lim (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.
Ví dụ minh họa thêm
Để hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác:
Tính lim (√(x + 4) - 2) / (x - 0) khi x → 0.
Lời giải: Ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số là √(x + 4) + 2. Khi đó, lim (√(x + 4) - 2) / (x - 0) = lim ((√(x + 4) - 2)(√(x + 4) + 2)) / (x(√(x + 4) + 2)) = lim (x + 4 - 4) / (x(√(x + 4) + 2)) = lim x / (x(√(x + 4) + 2)) = lim 1 / (√(x + 4) + 2) = 1 / (√(0 + 4) + 2) = 1 / (2 + 2) = 1/4.
Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn
- Luôn kiểm tra xem mẫu số có bằng 0 khi x tiến tới giá trị giới hạn hay không. Nếu mẫu số bằng 0, cần phải biến đổi biểu thức để khử dạng vô định.
- Sử dụng các công thức và tính chất của giới hạn một cách chính xác.
- Thực hành nhiều bài tập để nắm vững kỹ năng giải bài tập về giới hạn.
Kết luận
Bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số. Bằng cách nắm vững các định nghĩa, tính chất và quy tắc tính giới hạn, học sinh có thể giải bài tập này một cách dễ dàng và chính xác. Montoan.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài tập này và tự tin hơn trong quá trình học tập.
