THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tại montoan.com.vn. Đây là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình thống kê, giúp bạn hiểu rõ hơn về sự phân tán của dữ liệu.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những khái niệm cơ bản, công thức tính toán và các ví dụ minh họa cụ thể để bạn có thể áp dụng vào giải bài tập một cách dễ dàng.
1. Phương sai và độ lệch chuẩn
1. Phương sai và độ lệch chuẩn
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
trong đó các tần số \({m_1} > 0,{m_k} > 0\) và \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2 , là một số được tính theo công thức sau: \[{s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}\] Trong đó, \(n = {m_1} + ... + {m_k}\); \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) và \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \). |
Ý nghĩa: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán
2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro
Ví dụ: Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 ngày theo mỗi lĩnh vực có kết quả như sau:
So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?
Giải:
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:
Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\(\overline {{x_A}} = \frac{1}{{60}}(5.7,5 + ... + 5.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
\(\overline {{x_B}} = \frac{1}{{60}}(20.7,5 + ... + 20.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau
Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\({s_A} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(5.7,{5^2} + ... + 5.27,{5^2} - 17,{5^2}} = 5\)
\({s_B} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(20.7,{5^2} + ... + 20.27,{5^2} - 17,{5^2}} \approx 8,42\)
Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là “rủi ro” hơn
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, kiến thức về Phương sai và độ lệch chuẩn đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và phân tích dữ liệu thống kê. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chi tiết lý thuyết này.
Trước khi đi sâu vào Phương sai và độ lệch chuẩn, chúng ta cần nắm vững khái niệm về biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất. Biến ngẫu nhiên là một biến có giá trị phụ thuộc vào kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên. Phân phối xác suất mô tả khả năng xảy ra của mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên.
Kỳ vọng (hay giá trị trung bình) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là E(X), được tính bằng công thức:
E(X) = Σ (xi * P(xi))
Trong đó:
Phương sai (Variance) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là Var(X), đo lường mức độ phân tán của các giá trị của X xung quanh kỳ vọng E(X). Công thức tính phương sai là:
Var(X) = E[(X - E(X))2] = Σ [(xi - E(X))2 * P(xi)]
Phương sai luôn là một số không âm. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán.
Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Công thức tính độ lệch chuẩn là:
σ(X) = √Var(X)
Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên X, do đó dễ dàng diễn giải hơn so với phương sai.
Giả sử chúng ta có một biến ngẫu nhiên X biểu thị số chấm xuất hiện khi tung một con xúc xắc sáu mặt. Các giá trị có thể của X là 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi giá trị có xác suất 1/6.
Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X:
Phương sai và độ lệch chuẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Phương sai và độ lệch chuẩn là hai khái niệm liên quan mật thiết với nhau. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, do đó chúng có cùng thông tin về mức độ phân tán của dữ liệu. Tuy nhiên, độ lệch chuẩn thường được sử dụng phổ biến hơn vì nó có cùng đơn vị với dữ liệu gốc.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
