Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ các số đo đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu là vô cùng quan trọng. Bài 9 tập trung vào hai khái niệm chính: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, cách tính và ý nghĩa của từng khái niệm này.

1. Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên (range) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó cho biết mức độ trải rộng của dữ liệu. Công thức tính khoảng biến thiên:

R = X_max - X_min

Trong đó:

• R là khoảng biến thiên
• X_max là giá trị lớn nhất
• X_min là giá trị nhỏ nhất

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, 10. Khoảng biến thiên là 10 - 2 = 8.

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị (interquartile range - IQR) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường mức độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Công thức tính khoảng tứ phân vị:

IQR = Q₃ - Q₁

Để tính khoảng tứ phân vị, chúng ta cần xác định các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃.

• Q₁ (Tứ phân vị thứ nhất): Giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 25% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁.
• Q₂ (Tứ phân vị thứ hai): Trung vị của mẫu số liệu.
• Q₃ (Tứ phân vị thứ ba): Giá trị phân chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 75% dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃.

Cách tìm Q₁ và Q₃:

1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần.
2. Tìm trung vị (Q₂) của mẫu số liệu.
3. Q₁ là trung vị của các giá trị nhỏ hơn Q₂.
4. Q₃ là trung vị của các giá trị lớn hơn Q₂.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.

Q₂ = 7

Q₁ là trung vị của (1, 3, 5) = 3

Q₃ là trung vị của (9, 11, 13) = 11

IQR = 11 - 3 = 8

3. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là những công cụ hữu ích để đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu. Khoảng biến thiên cho biết phạm vi của dữ liệu, trong khi khoảng tứ phân vị tập trung vào sự phân tán của phần lớn dữ liệu. Khoảng tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn so với khoảng biến thiên.

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu sau: 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25.
• Bài 2: Giải thích ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị trong bối cảnh thực tế.
• Bài 3: So sánh ưu và nhược điểm của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

5. Kết luận

Bài 9 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. Việc nắm vững những khái niệm này sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về các số đo đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế. Chúc các em học tập tốt!