Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Toán 12 Kết nối tri thức

1. Khoảng biến thiên

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Toán 12 Kết nối tri thức 1

trong đó các tần số \({m_1} > 0,{m_k} > 0\) và \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(R = {a_{k + 1}} - {a_1}\)

Ý nghĩa: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán

2. Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\)và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\)

Ý nghĩa: Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường

Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Toán 12 Kết nối tri thức 2

Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Toán 12 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, việc nắm vững lý thuyết về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là vô cùng quan trọng. Đây là những công cụ thống kê cơ bản giúp chúng ta đánh giá mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về hai khái niệm này, bao gồm định nghĩa, cách tính toán và ứng dụng thực tế.

1. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một tập dữ liệu. Nó cho biết phạm vi mà các giá trị dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên:

R = X_max - X_min

Trong đó:

R là khoảng biến thiên
X_max là giá trị lớn nhất trong tập dữ liệu
X_min là giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu

Ví dụ: Cho tập dữ liệu: 2, 5, 8, 11, 15. Khoảng biến thiên của tập dữ liệu này là: 15 - 2 = 13.

2. Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR)

Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường sự phân tán của 50% dữ liệu trung tâm trong tập dữ liệu. Công thức tính khoảng tứ phân vị:

IQR = Q₃ - Q₁

Để tính khoảng tứ phân vị, chúng ta cần xác định các tứ phân vị Q₁, Q₂ (trung vị) và Q₃.

Q₁ (Tứ phân vị thứ nhất): Giá trị phân chia tập dữ liệu đã sắp xếp thành hai phần, sao cho 25% dữ liệu nằm dưới Q₁ và 75% dữ liệu nằm trên Q₁.
Q₂ (Tứ phân vị thứ hai - Trung vị): Giá trị phân chia tập dữ liệu đã sắp xếp thành hai phần bằng nhau.
Q₃ (Tứ phân vị thứ ba): Giá trị phân chia tập dữ liệu đã sắp xếp thành hai phần, sao cho 75% dữ liệu nằm dưới Q₃ và 25% dữ liệu nằm trên Q₃.

3. Cách tính các tứ phân vị

Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần.

Bước 2: Xác định vị trí của các tứ phân vị:

Vị trí của Q₁: (n+1)/4, trong đó n là số lượng dữ liệu.
Vị trí của Q₂: (n+1)/2
Vị trí của Q₃: 3(n+1)/4

Bước 3: Tính giá trị của các tứ phân vị:

Nếu vị trí của tứ phân vị là một số nguyên, giá trị của tứ phân vị là giá trị dữ liệu tại vị trí đó. Nếu vị trí của tứ phân vị là một số thập phân, giá trị của tứ phân vị là trung bình cộng của hai giá trị dữ liệu gần nhất với vị trí đó.

4. Ứng dụng của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Thống kê mô tả: Cung cấp thông tin về mức độ phân tán của dữ liệu.
Phát hiện ngoại lệ: Các giá trị nằm ngoài khoảng biến thiên hoặc quá xa so với khoảng tứ phân vị có thể là ngoại lệ.
So sánh các tập dữ liệu: Giúp so sánh mức độ phân tán của các tập dữ liệu khác nhau.
Kiểm soát chất lượng: Đánh giá sự ổn định của quy trình sản xuất.

5. Ví dụ minh họa tính khoảng tứ phân vị

Cho tập dữ liệu: 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18.

Bước 1: Sắp xếp dữ liệu: 3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21.

Bước 2: Tính vị trí các tứ phân vị:

Vị trí Q₁: (9+1)/4 = 2.5
Vị trí Q₂: (9+1)/2 = 5
Vị trí Q₃: 3(9+1)/4 = 7.5

Bước 3: Tính giá trị các tứ phân vị:

Q₁ = (7 + 8) / 2 = 7.5
Q₂ = 12
Q₃ = (14 + 18) / 2 = 16

Bước 4: Tính IQR: IQR = Q₃ - Q₁ = 16 - 7.5 = 8.5

6. Kết luận

Lý thuyết về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là nền tảng quan trọng trong thống kê toán học. Việc hiểu rõ các khái niệm này giúp chúng ta phân tích và đánh giá dữ liệu một cách hiệu quả hơn. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về chủ đề này.