Giải bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp thu nhất, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng (108c{m^2}) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Đề bài
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108c{m^2}\) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x (cm, \(0 < x < \sqrt {108} \)) và chiều cao là h (cm, \(h > 0\)).
Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108c{m^2}\) nên \({x^2} + 4xh = 108 \Rightarrow h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\left( {cm} \right)\).
Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2}.h = {x^2}.\frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\left( {c{m^3}} \right)\).
Ta có: \(V' = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4},V' = 0 \Leftrightarrow x = 6\) (do \(x > 0\)).
Bảng biến thiên:
Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy \(x = 6\) cm.
Khi đó, chiều cao của hình hộp là: \(\frac{{108 - {6^2}}}{{4.6}} = 3\left( {cm} \right)\).
Giải bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị nhất định. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm về giới hạn, các định lý về giới hạn và các kỹ năng biến đổi đại số.
Nội dung bài tập 1.14
Bài tập 1.14 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, mỗi câu hỏi yêu cầu tính giới hạn của một hàm số cụ thể. Các hàm số có thể là hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác hoặc hàm mũ.
Phương pháp giải bài tập 1.14
Để giải bài tập 1.14, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số để tính giới hạn. Phương pháp này chỉ áp dụng được khi hàm số liên tục tại điểm x.
- Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức và loại bỏ các yếu tố gây ra vô định.
- Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của biểu thức để loại bỏ các yếu tố gây ra vô định.
- Sử dụng các định lý về giới hạn: Áp dụng các định lý về giới hạn để tính giới hạn của các hàm số phức tạp.
Lời giải chi tiết bài tập 1.14
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi của bài tập 1.14:
Câu a)
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Giải:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4
Câu b)
lim (x→1) (x^3 - 1) / (x - 1)
Giải:
lim (x→1) (x^3 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x - 1)(x^2 + x + 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x^2 + x + 1) = 3
Câu c)
lim (x→0) sin(x) / x
Giải:
lim (x→0) sin(x) / x = 1 (Đây là giới hạn lượng giác cơ bản)
Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn
- Luôn kiểm tra xem hàm số có liên tục tại điểm x hay không.
- Sử dụng các phương pháp biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức.
- Áp dụng các định lý về giới hạn một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ứng dụng của kiến thức về giới hạn
Kiến thức về giới hạn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý và kỹ thuật. Ví dụ, giới hạn được sử dụng để tính đạo hàm, tích phân, diện tích, thể tích và nhiều đại lượng khác.
Bài tập luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức về giới hạn, học sinh có thể giải thêm các bài tập sau:
- lim (x→3) (x^2 - 9) / (x - 3)
- lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
- lim (x→0) (1 - cos(x)) / x
Kết luận
Bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày ở trên, các em học sinh sẽ tự tin giải bài tập này và nắm vững kiến thức về giới hạn.
