Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

1. Giới thiệu chung về phương sai và độ lệch chuẩn

Trong thống kê, phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng quan trọng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Chúng cho biết các giá trị trong tập dữ liệu đó trải rộng ra xung quanh giá trị trung bình như thế nào.

Phương sai (Variance): Là giá trị trung bình của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình của tập dữ liệu đó.

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation): Là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn có đơn vị giống với đơn vị của dữ liệu gốc, do đó dễ dàng diễn giải hơn phương sai.

2. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

a. Đối với mẫu số liệu (Sample):

Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu: \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Tính phương sai mẫu: s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
Tính độ lệch chuẩn mẫu: s = \sqrt{s^2}

b. Đối với tổng thể (Population):

Tính giá trị trung bình của tổng thể: \mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i
Tính phương sai tổng thể: \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2
Tính độ lệch chuẩn tổng thể: \sigma = \sqrt{\sigma^2}

3. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

Ví dụ:

Tập dữ liệu	Phương sai	Độ lệch chuẩn
{2, 4, 6, 8, 10}	8	2.83
{5, 5, 5, 5, 5}	0	0

4. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Khoa học tự nhiên: Đánh giá độ chính xác của các phép đo.
Tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
Y học: Phân tích sự biến thiên của các chỉ số sinh lý.
Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng sản phẩm.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu sau: 3, 5, 7, 9, 11

Giải:

Tính giá trị trung bình: \bar{x} = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7
Tính phương sai: s^2 = \frac{(3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2}{5-1} = 8
Tính độ lệch chuẩn: s = \sqrt{8} \approx 2.83

6. Kết luận

Phương sai và độ lệch chuẩn là những công cụ quan trọng trong thống kê, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân tán của dữ liệu. Việc nắm vững kiến thức về phương sai và độ lệch chuẩn là rất cần thiết cho các em học sinh trong quá trình học tập và nghiên cứu.