THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Bài giải này được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} \).
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên DCC’D’ là hình vuông. Do đó, \(\overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CD} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \)
Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 nên \(\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 1\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} } \right| = 1\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) (đpcm)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 49SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow b \) (H.2.10).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \) và \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).
b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải thích: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {A'B'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và \(AB = A'B'\). Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và \(AA' = BB' \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \).
Vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \) nên hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Vì \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow b \) nên hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và \(BC = B'C'\). Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và \(CC' = BB' \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} \) có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và \(AA' = CC'\) nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, \(AC = A'C'\) và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'C'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 52SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) là hai vectơ đối nhau;
b) \(\overrightarrow {SD} - \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để chứng minh: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \).
b) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\), AB//CD. Suy ra \(BM = DN\) (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD) và BM//DN. Do đó, tứ giác DMBN là hình bình hành, do đó, \(BN = DM\) và BN//DM. Hai vectơ \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) có cùng độ dài và ngược hướng nên \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) là hai vectơ đối nhau.
b) Theo a ta có: \(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {DM} \)
Do đó, \(\overrightarrow {SD} - \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SD} + \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {SM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {SC} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD'} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD'} \)
Ta có: \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD'} \)
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
Lời giải chi tiết:
Quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B là: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} \) có bằng nhau hay không?
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) có bằng nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
a) Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) (1)
Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’D’D và DD’C’C là hình bình hành. Do đó, AA’//DD’, \(AA' = DD'\) và \(DD' = CC'\), DD’//CC’. Suy ra, AA’//CC’ và \(AA' = CC'\). Suy ra, tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 51SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về Định luật III Newton để giải thích: Lực tác dụng và phản lực là hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Các vectơ biểu diễn hai lực đó có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 52SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau không? Giải thích vì sao.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để giải thích: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \).
Lời giải chi tiết:
Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 49SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow b \) (H.2.10).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \) và \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).
b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để giải thích: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Vì \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {A'B'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {A'B'} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và \(AB = A'B'\). Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và \(AA' = BB' \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} \).
Vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \) nên hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Vì \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow b \) nên hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài.
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và \(BC = B'C'\). Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và \(CC' = BB' \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} \).
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} \) có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {CC'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và \(AA' = CC'\) nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, \(AC = A'C'\) và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'C'} \) có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} \).
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên DCC’D’ là hình vuông. Do đó, \(\overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CD} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \)
Vì độ dài mỗi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1 nên \(\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 1\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} } \right| = 1\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) (đpcm)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} \) có bằng nhau hay không?
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) có bằng nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
a) Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) (1)
Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp nên AA’D’D và DD’C’C là hình bình hành. Do đó, AA’//DD’, \(AA' = DD'\) và \(DD' = CC'\), DD’//CC’. Suy ra, AA’//CC’ và \(AA' = CC'\). Suy ra, tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
Lời giải chi tiết:
Quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B là: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 50SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD'} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD'} \)
Ta có: \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD'} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 51SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về Định luật III Newton để giải thích: Lực tác dụng và phản lực là hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Các vectơ biểu diễn hai lực đó có độ dài bằng nhau và hướng của chúng là ngược nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 52SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) là hai vectơ đối nhau;
b) \(\overrightarrow {SD} - \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để chứng minh: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \).
b) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết:
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\), AB//CD. Suy ra \(BM = DN\) (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD) và BM//DN. Do đó, tứ giác DMBN là hình bình hành, do đó, \(BN = DM\) và BN//DM. Hai vectơ \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) có cùng độ dài và ngược hướng nên \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) là hai vectơ đối nhau.
b) Theo a ta có: \(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {DM} \)
Do đó, \(\overrightarrow {SD} - \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SD} + \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {SM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {SC} \)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 52SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau không? Giải thích vì sao.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ đối nhau để giải thích: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \).
Lời giải chi tiết:
Vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có cùng độ lớn và hướng ngược nhau nên chúng là hai vectơ đối nhau.
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về giới hạn của hàm số. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, nền tảng cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các khái niệm và phương pháp giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Trang 49 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức chứa các bài tập vận dụng kiến thức về khái niệm giới hạn để tính giới hạn của hàm số. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh phải phân tích hàm số, xác định dạng giới hạn và áp dụng các công thức phù hợp.
Ví dụ: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2). Ta có thể phân tích tử thức thành (x - 2)(x + 2). Khi đó, limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4.
Trang 50 tập trung vào các bài tập về giới hạn một bên. Học sinh cần hiểu rõ sự khác biệt giữa giới hạn trái và giới hạn phải, và biết cách sử dụng chúng để xác định giới hạn của hàm số tại một điểm.
Ví dụ: Xét hàm số f(x) = |x| / x. Giới hạn trái tại x = 0 là -1, giới hạn phải tại x = 0 là 1. Do đó, giới hạn của hàm số tại x = 0 không tồn tại.
Trang 51 chứa các bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Các bài tập này thường đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích, tổng hợp và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Ví dụ: Bài tập về tính giới hạn của hàm số có chứa căn thức. Để giải bài tập này, ta có thể sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Việc giải các bài tập trong mục 2 trang 49, 50, 51 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán 12. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập và đạt kết quả tốt trong môn học.
