Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2 trong chương 1 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của một hàm số trên một khoảng hoặc tập xác định. Đây là một chủ đề quan trọng, có tính ứng dụng cao trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Định nghĩa: Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) là giá trị M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc (a, b) và tồn tại x₀ thuộc (a, b) sao cho f(x₀) = M. Tương tự với giá trị nhỏ nhất.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại x₀ thì f'(x₀) = 0 hoặc f'(x₀) không tồn tại.
3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a, b]:
   • Tính đạo hàm f'(x).
   • Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn.
   • Tính f(a), f(b) và f(x_i) với x_i là các điểm tới hạn nằm trong khoảng (a, b).
   • So sánh các giá trị f(a), f(b), f(x_i) để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a, b].

II. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường gặp các dạng sau:

• Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
• Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng. (Lưu ý: cần xét giới hạn của hàm số tại các đầu mút của khoảng).
• Dạng 3: Bài toán tối ưu hóa: Tìm giá trị của các tham số để hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

1. f'(x) = 3x² - 6x
2. Giải f'(x) = 0 ta được x = 0 và x = 2.
3. Tính f(-1) = 0, f(0) = 2, f(2) = -2, f(3) = 8.
4. So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất là 8 tại x = 3 và giá trị nhỏ nhất là -2 tại x = 2.

IV. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau trong SGK và sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập 1:

• Bài 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10

V. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, cần lưu ý:

• Kiểm tra xem hàm số có liên tục trên khoảng hoặc đoạn đang xét hay không.
• Xác định đúng các điểm tới hạn và các điểm không xác định của đạo hàm.
• Tính toán chính xác các giá trị của hàm số tại các điểm quan trọng.
• So sánh cẩn thận các giá trị để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!