THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 45 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, kèm theo giải thích chi tiết để các em có thể tự học và ôn tập tại nhà.
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\).
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) có mối quan hệ gì?
b) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian tìm mối quan hệ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.
Lời giải chi tiết:
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau.
b) Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau thì giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau. Khi đó, \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Rightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2s\\z = 1\end{array} \right.\). Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai đường thẳng vuông góc: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;1;0} \right)\)
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 2;2;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 1.\left( { - 2} \right) + 1.2 + 0.0 = 0\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\).
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) có mối quan hệ gì?
b) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian tìm mối quan hệ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.
Lời giải chi tiết:
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau.
b) Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau thì giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau. Khi đó, \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Rightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Hỏi đường thẳng \(\Delta \) có vuông góc với trục Oz không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc với nhau để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 1} \right)\). Trục Oz có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Vì \(2.0 + 1.0 - 1.1 = - 1 \ne 0\) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với trục Oz.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2s\\z = 1\end{array} \right.\). Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai đường thẳng vuông góc: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;1;0} \right)\)
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 2;2;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 1.\left( { - 2} \right) + 1.2 + 0.0 = 0\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Hỏi đường thẳng \(\Delta \) có vuông góc với trục Oz không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc với nhau để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 1} \right)\). Trục Oz có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Vì \(2.0 + 1.0 - 1.1 = - 1 \ne 0\) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với trục Oz.
Mục 2 trang 45 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Cụ thể, mục này tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm lượng giác và các hàm số đặc biệt khác. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm trong các kỳ thi sắp tới.
Mục 2 trang 45 bao gồm các bài tập rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Các bài tập thường yêu cầu học sinh phải kết hợp nhiều quy tắc đạo hàm khác nhau, đồng thời cần chú ý đến các điểm gián đoạn của hàm số. Để giải quyết các bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần:
Bài tập 1 yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x^2 + 1). Để giải bài tập này, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp. Đặt u(x) = x^2 + 1 và v(x) = sin(x). Khi đó, f(x) = v(u(x)).
Ta có: u'(x) = 2x và v'(x) = cos(x). Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta được:
f'(x) = v'(u(x)) * u'(x) = cos(x^2 + 1) * 2x = 2x * cos(x^2 + 1).
Bài tập 2 yêu cầu tính đạo hàm của hàm số g(x) = e^(cos(x)). Tương tự như bài tập 1, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp. Đặt u(x) = cos(x) và v(x) = e^x. Khi đó, g(x) = v(u(x)).
Ta có: u'(x) = -sin(x) và v'(x) = e^x. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta được:
g'(x) = v'(u(x)) * u'(x) = e^(cos(x)) * (-sin(x)) = -sin(x) * e^(cos(x)).
Bài tập 3 yêu cầu tính đạo hàm của hàm số h(x) = ln(x^3 + 2x). Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp và đạo hàm của hàm logarit. Đặt u(x) = x^3 + 2x và v(x) = ln(x). Khi đó, h(x) = v(u(x)).
Ta có: u'(x) = 3x^2 + 2 và v'(x) = 1/x. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta được:
h'(x) = v'(u(x)) * u'(x) = (1/(x^3 + 2x)) * (3x^2 + 2) = (3x^2 + 2) / (x^3 + 2x).
Để giải nhanh các bài tập đạo hàm, học sinh có thể áp dụng một số mẹo sau:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 45 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
