Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Bài 16 trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 đi sâu vào việc ứng dụng kiến thức về vectơ để tính góc trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm và công thức liên quan.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất tạo bởi hai vectơ chỉ phương của chúng. Công thức tính góc α giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là u₁ và u₂ là:

   cos α = |u₁ . u₂| / (||u₁|| . ||u₂||)

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Công thức tính góc φ giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n là:

   sin φ = |u . n| / (||u|| . ||n||)

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về góc trong không gian, học sinh cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định các vectơ liên quan: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
2. Áp dụng công thức: Sử dụng các công thức tính góc đã nêu ở trên.
3. Tính toán và kết luận: Thực hiện các phép tính và đưa ra kết quả cuối cùng.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d₂: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính góc giữa hai đường thẳng này.

Giải:

• Vectơ chỉ phương của d₁ là u₁ = (1, -1, 2).
• Vectơ chỉ phương của d₂ là u₂ = (-1, 1, -1).
• cos α = |(1)(-1) + (-1)(1) + (2)(-1)| / (√(1² + (-1)² + 2²) . √((-1)² + 1² + (-1)²)) = |-4| / (√6 . √3) = 4 / √(18) = 4 / (3√2) = 2√2 / 3.
• Vậy α ≈ 19.47°.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

• Vectơ chỉ phương của d là u = (1, 1, 2).
• Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1, 1, 1).
• sin φ = |(1)(1) + (1)(1) + (2)(1)| / (√(1² + 1² + 2²) . √(1² + 1² + 1²)) = |4| / (√6 . √3) = 4 / √(18) = 4 / (3√2) = 2√2 / 3.
• Vậy φ ≈ 54.74°.

IV. Bài tập luyện tập

1. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t và d₂: x = 1 - s, y = 2 + s, z = 4 - s.
2. Tính góc giữa đường thẳng d: x = t, y = 2 + t, z = 1 - t và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các bạn học sinh có thể tự tin giải các bài tập về công thức tính góc trong không gian. Chúc các bạn học tốt!