Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ các em trong quá trình học tập môn Toán.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Tính giá trị f(4).
Đề bài
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Tính giá trị f(4).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để giải: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:
\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\)
Lời giải chi tiết
Vì \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) nên
\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = 2\int {xdx} + \int {{x^{ - 2}}dx} = {x^2} - \frac{1}{x} + C\)
Mà \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \(1 - 1 + C = 1\), suy ra \(C = 1\). Do đó, hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1\)
Vậy \(f\left( 4 \right) = {4^2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{{67}}{4}\)
Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
Nội dung bài tập 4.5
Bài tập 4.5 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
- Tính đạo hàm của các hàm số cho trước.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Phương pháp giải bài tập 4.5
Để giải bài tập 4.5 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
- Ứng dụng của đạo hàm: Hiểu rõ ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, tìm cực trị, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Kỹ năng biến đổi đại số: Rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức đạo hàm.
Lời giải chi tiết bài tập 4.5
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi nhỏ của bài tập 4.5:
Câu a: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Câu b: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x1 = (3 - √3)/3 và x2 = (3 + √3)/3
Khoảng đồng biến: (-∞; (3 - √3)/3) và ((3 + √3)/3; +∞)
Khoảng nghịch biến: ((3 - √3)/3; (3 + √3)/3)
Câu c: Tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x1 = (3 - √3)/3 và x2 = (3 + √3)/3
f((3 - √3)/3) = -1 + 2√3/9
f((3 + √3)/3) = -1 - 2√3/9
Hàm số đạt cực đại tại x = (3 - √3)/3, giá trị cực đại là -1 + 2√3/9
Hàm số đạt cực tiểu tại x = (3 + √3)/3, giá trị cực tiểu là -1 - 2√3/9
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra lại kết quả tính đạo hàm.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả.
- Rèn luyện thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
Tổng kết
Bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1 | f'(x) = 3x2 - 6x + 2 |
