Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\); b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \)
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);
b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)'} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}\)
\(y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\)
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0\)
b) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)
\(y' = 1 + \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = {x^2}\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(y\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0;y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,y\left( { - 1} \right) = - 1;y\left( 1 \right) = 1\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - 1\)
Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan
Bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học về Đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm đạo hàm của hàm số và phân tích các tính chất của đạo hàm.
Nội dung bài tập 17
Bài tập 17 thường bao gồm các dạng câu hỏi sau:
- Tính đạo hàm của hàm số cho trước.
- Xác định khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.
Lời giải chi tiết bài tập 17
Để giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định hàm số cần tìm đạo hàm.
- Bước 2: Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp,...) để tính đạo hàm của hàm số.
- Bước 3: Phân tích đạo hàm để xác định khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số.
- Bước 4: Giải các bài toán ứng dụng (nếu có).
Ví dụ minh họa
Bài toán: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài bài tập 17, còn rất nhiều bài tập tương tự trong chương trình học về Đạo hàm. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Các quy tắc tính đạo hàm.
- Các ứng dụng của đạo hàm (tìm khoảng đơn điệu, cực trị, giải phương trình, bất phương trình,...).
- Kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán.
Mẹo học tập hiệu quả
Để học tốt môn Toán 12, đặc biệt là chương trình về Đạo hàm, học sinh nên:
- Học thuộc các công thức đạo hàm cơ bản.
- Luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau.
- Tìm hiểu các ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.
- Tham khảo các tài liệu học tập, sách tham khảo, website học toán online.
Tài liệu tham khảo hữu ích
Dưới đây là một số tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh:
- Sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức.
- Sách bài tập Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức.
- Các website học toán online uy tín (ví dụ: montoan.com.vn).
Kết luận
Bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học về Đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi và áp dụng vào các bài toán thực tế.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| (u + v)' | Đạo hàm của tổng hai hàm số |
| (u - v)' | Đạo hàm của hiệu hai hàm số |
| (u.v)' | Đạo hàm của tích hai hàm số |
