THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Vecto trong không gian, một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và nâng cao về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của chúng trong không gian.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả và thú vị nhất. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới vectơ ngay bây giờ!
1. Vecto trong không gian
1. Vecto trong không gian
Khái niệm vecto trong không gian
- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng - Độ dài của vecto trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó - Hai vecto được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau - Nếu hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng - Hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \)được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\mathop a\limits^ \to \) = \(\mathop b\limits^ \to \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng |
2. Tổng và hiệu của hai vecto trong không gian
a) Tổng của hai vecto trong không gian
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B,C sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) Trong không gian, phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto |
Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) |
b) Hiệu của hai vecto trong không gian
Trong không gian, vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) được gọi là vecto đối của vecto \(\mathop a\limits^ \to \), kí hiệu là - \(\mathop a\limits^ \to \) Vecto \(\mathop a\limits^ \to + ( - \mathop b\limits^ \to )\) được gọi là hiệu của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) và kí hiệu là \(\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to \) Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto |
3. Tích của một số với một vecto trong không gian
Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau: - Cùng hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k > 0; ngược hướng với vecto \(\mathop a\limits^ \to \) nếu k < 0 - Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\) Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vecto được gọi là phép nhân một số với một vecto |
4. Tích của một số với một vecto trong không gian
a) Góc giữa hai vecto trong không gian
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Lấy một điểm O bất kỳ và gọi A, B là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). Khi đó, góc \(\widehat {AOB}({0^ \circ } \le \widehat {AOB} \le {180^ \circ })\) được gọi là góc giữa hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) |
b) Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
Trong không gian, cho hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) khác \(\mathop 0\limits^ \to \). Tích vô hướng của hai vecto \(\mathop a\limits^ \to \) và \(\mathop b\limits^ \to \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) |
Lý thuyết Vecto trong không gian là một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết này, bao gồm định nghĩa, các phép toán, tính chất và ứng dụng.
Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi tọa độ của nó. Một vectơ a được biểu diễn bởi a = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực. x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của vectơ a.
Các phép toán trên vectơ tuân theo các tính chất sau:
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính bằng công thức: a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Ứng dụng của tích vô hướng:
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) là một vectơ c = [a, b] = (y1z2 - z1y2; z1x2 - x1z2; x1y2 - y1x2).
Ứng dụng của tích có hướng:
Bài 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b, a - b và 2a.
Giải:
Bài 2: Tính tích vô hướng của a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0).
Giải:a.b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
Lý thuyết Vecto trong không gian là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán hình học không gian. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của vectơ sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
