Bài 12. Tích phân

Bài 12. Tích phân - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Tích phân là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong giải tích. Nó được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong, tính thể tích của vật thể, và giải quyết nhiều bài toán thực tế khác. Bài 12 trong sách giáo khoa Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc giới thiệu khái niệm tích phân, các tính chất cơ bản và các phương pháp tính tích phân đơn giản.

1. Khái niệm tích phân

Tích phân được định nghĩa là giới hạn của một tổng Riemann khi kích thước của các phân đoạn trong tổng tiến tới không. Về mặt hình học, tích phân biểu diễn diện tích có dấu giữa đồ thị của một hàm số và trục hoành trong một khoảng xác định.

2. Các tính chất của tích phân

• Tính tuyến tính: ∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx (với a, b là các hằng số).
• Tích phân của hàm chẵn: ∫_-a^a f(x)dx = 2∫₀^a f(x)dx (nếu f(x) là hàm chẵn).
• Tích phân của hàm lẻ: ∫_-a^a f(x)dx = 0 (nếu f(x) là hàm lẻ).

3. Các phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du (với u = g(x)).
2. Phương pháp tích phân từng phần: ∫u dv = uv - ∫v du.
3. Sử dụng bảng nguyên hàm: Tra cứu nguyên hàm của các hàm số cơ bản trong bảng nguyên hàm.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫x² dx.

Áp dụng công thức ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1), ta có:

∫x² dx = (x³)/3 + C.

Ví dụ 2: Tính ∫sin(x) dx.

Sử dụng bảng nguyên hàm, ta có:

∫sin(x) dx = -cos(x) + C.

5. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập áp dụng để các em luyện tập:

• Tính ∫(3x² + 2x + 1) dx.
• Tính ∫cos(2x) dx.
• Tính ∫x*e^x dx (sử dụng phương pháp tích phân từng phần).

6. Lưu ý quan trọng

Khi tính tích phân, cần chú ý đến các dấu và giới hạn tích phân. Ngoài ra, việc lựa chọn phương pháp tích phân phù hợp cũng rất quan trọng để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

7. Kết luận

Bài 12. Tích phân là nền tảng quan trọng để học các kiến thức nâng cao hơn về tích phân trong chương trình Toán 12. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trong bài viết này, các em sẽ nắm vững khái niệm tích phân và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.