Bài tập cuối chuyên đề 1 Toán 12 Kết nối tri thức

Bài tập cuối chuyên đề 1 Toán 12 Kết nối tri thức: Tổng quan

Chuyên đề 1 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào lý thuyết xác suất, và bài tập cuối chuyên đề là cơ hội để học sinh củng cố kiến thức về biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của chúng. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn trong tương lai.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến mà tập hợp các giá trị có thể nhận được là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hoặc số điểm đạt được trong một trò chơi.

2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Có ba số đặc trưng quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giá trị kỳ vọng (E(X)): Là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng tổng của tích mỗi giá trị có thể nhận được với xác suất tương ứng.
Phương sai (Var(X)): Đo lường mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên so với giá trị kỳ vọng.
Độ lệch chuẩn (SD(X)): Là căn bậc hai của phương sai, cũng đo lường mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên.

3. Công thức tính toán

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x₁, x₂, ..., x_n với xác suất tương ứng p₁, p₂, ..., p_n.

Khi đó:

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n
Var(X) = E(X²) - (E(X))²
SD(X) = √Var(X)

4. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập cuối chuyên đề 1 thường xoay quanh các chủ đề sau:

Xác định biến ngẫu nhiên rời rạc trong một tình huống cụ thể.
Tính xác suất của các sự kiện liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc.
Tính giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Hãy tính giá trị kỳ vọng của X.

Giải:

X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.

P(X=0) = C(2,2) / C(5,2) = 1/10
P(X=1) = C(3,1) * C(2,1) / C(5,2) = 6/10
P(X=2) = C(3,2) / C(5,2) = 3/10

E(X) = 0 * (1/10) + 1 * (6/10) + 2 * (3/10) = 1.2

6. Mẹo giải bài tập hiệu quả

Nắm vững định nghĩa và các tính chất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Hiểu rõ công thức tính toán giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.
Luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Sử dụng sơ đồ cây hoặc bảng xác suất để trực quan hóa các tình huống và tính toán xác suất một cách chính xác.