Tài liệu toán: Bài Toán Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Chứa Tham Số có file PDF & Đáp Án

Quý thầy cô và học sinh đang tham khảo bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số, bộ đề thi được xây dựng bám sát chuẩn toán cập nhật nhất. Cấu trúc đề bảo đảm độ phủ kiến thức đồng đều, mức độ câu hỏi được cân chỉnh từ nhận biết đến vận dụng cao, phù hợp kiểm tra toàn diện năng lực. Hãy khai thác triệt để tài liệu này để đánh giá chính xác trình độ hiện tại và tối ưu chiến lược luyện thi của bạn.

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số trong chương trình Giải tích 12. Đây là một chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học. I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đối với bài toán chứa tham số liên quan đến đường tiệm cận, việc biện luận số tiệm cận hoặc tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện nào đó thường được thực hiện theo một quy trình logic gồm các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện của tham số để hàm số xác định và không suy biến. Bước này đảm bảo rằng các phép toán và phân tích tiếp theo được thực hiện trên một tập xác định hợp lệ và tránh các trường hợp đặc biệt làm mất tính tổng quát của bài toán. Bước 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Việc này bao gồm tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có). Cần lưu ý rằng, tiệm cận đứng thường được xác định bằng cách tìm các giá trị của x làm mẫu số bằng 0, trong khi tiệm cận ngang được xác định bằng cách xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng. Bước 3: Giải điều kiện của bài toán để tìm tham số. Dựa trên các thông tin đã cho trong đề bài (ví dụ: tiệm cận đi qua một điểm cho trước, số lượng tiệm cận, vị trí của tiệm cận), thiết lập các phương trình hoặc bất phương trình chứa tham số và giải chúng để tìm ra các giá trị của tham số thỏa mãn. Bước 4: Kết luận. Kiểm tra lại các điều kiện và kết quả đã tìm được, đảm bảo rằng chúng phù hợp với yêu cầu của bài toán và không mâu thuẫn với các điều kiện xác định ban đầu. II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \frac{{(2m + 1)x + 3}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đi qua điểm \(A( – 2;7).\) Nếu \(m = 1\), hàm số trở thành \(y = \frac{{3x + 3}}{{x + 1}} = 3\), không có tiệm cận. Với \(m \ne 1\), đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = -1\) và tiệm cận ngang \(y = 2m + 1\). Đường tiệm cận ngang đi qua \(A(-2;7)\) khi và chỉ khi \(7 = 2m + 1 \Leftrightarrow m = 3\). Ví dụ 2. Tìm hai số \(a\), \(b\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{(4a – b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b – 12}}\) nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Để đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(4a – b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b – 12}} = 0 \Leftrightarrow 4a – b = 0\). Để đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, biểu thức \({x^2} + ax + b – 12\) phải nhận \(x = 0\) làm nghiệm, tức là \(b = 12\). Suy ra \(a = 3\). Vậy \(a = 3\) và \(b = 12\). Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang. Nếu \(m = 0\), hàm số trở thành \(y = x + 1\), không có tiệm cận ngang. Nếu \(m < 0\), tập xác định của hàm số là khoảng \(\left( { – \frac{1}{{\sqrt { – m} }};\frac{1}{{\sqrt { – m} }}} \right)\), đồ thị không có tiệm cận ngang. Nếu \(m > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{1}{{\sqrt m }}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \frac{1}{{\sqrt m }}\). Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang khi \(m > 0\). Ví dụ 4. Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đồ thị hàm số \(y = \frac{{2mx – 3}}{{x + m}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\)? Tiệm cận ngang là \(y = 2m\). Do đó, \(2m = 2 \Leftrightarrow m = 1\). Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{mx – 1}}\) không có tiệm cận đứng. Hàm số không có tiệm cận đứng khi \(mx – 1 = 0\) không có nghiệm hoặc \(mx - 1\) có nghiệm \(x = 3\). Trường hợp 1: \(m = 0\). Trường hợp 2: \(3m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\). Vậy \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{1}{3}\). III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1. Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 3}}{{4x – 2n + 5}}\). Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 2\) và nhận trục tung là tiệm cận đứng. Khi đó tổng \(m + n\) bằng? Đáp án: B. \(\frac{{21}}{2}\). Bài 2. Với giá trị \(m\) nào thì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x – 1}}{{2x – m}}\) đi qua điểm \(M(1;3).\) Đáp án: B. \(m = 2\). Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{m^2}x – 4}}{{mx – 1}}\) có tiệm cận đứng đi qua điểm \(A(1;4).\) Đáp án: B. \(m = 1\). Bài 4. Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = \frac{{(n – 3)x + n – 2017}}{{x + m + 3}}\) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của \(m + n\) là? Đáp án: A. \(0\). Bài 5. Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{(m – 2n){x^2} + mx + 1}}{{{x^2} – mx + m – n}}\) nhận đường thẳng \(x = 1\) làm một tiệm cận đứng và trục hoành làm tiệm cận ngang thì \(m + n\) bằng: Đáp án: A. \(3\). Bài 6. Các giá trị của tham số \(a\) để đồ thị hàm số \(y = ax + \sqrt {4{x^2} + 1} \) có tiệm cận ngang là: Đáp án: A. \(a = \pm 2\). Bài 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} – 3x + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận. Đáp án: C. \(m \in \{ – 1; – 4\} .\) Bài 8. Tìm tập hợp các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} – mx – 3m} }}\) có đúng hai tiệm cận đứng. Đáp án: D. \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right].\) Bài 9. Cho hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{m{x^2} – 2x + 3}}.\) Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì: Đáp án: B. \(m = 0\), \(m = 1\). Bài 10. Cho hàm số \(y = \frac{{12 + \sqrt {4x – {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} – 6x + 2m} }}\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right).\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) có đúng hai đường tiệm cận đứng. Đáp án: A. \(S = \left[ {4;\frac{9}{2}} \right).\) IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + a}}{{{x^3} + a{x^2}}}\) có ba đường tiệm cận. Bài 2. Số các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng là: Bài 3. Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 6x + m}}{{4x – m}}\) có hai đường tiệm cận đứng. Bài 4. Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}.\) Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì: Bài 5. Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{mx – 1}}\) không có tiệm cận đứng? Bài 6. Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx – 2}}.\) Tìm \(a\), \(b\) để đồ thị hàm số có \(x = 1\) là tiệm cận đứng và \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang. Bài 7. Cho hàm số \(y = \sqrt {m{x^2} + 2x} – x.\) Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang. Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{(x – 1)}^2} + 4} }}\) có hai tiệm cận đứng. Bài 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{12 + \sqrt {4x – {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} – 6x + 2m} }}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng. V. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. B. 2. C. 3. B. 4. B. 5. B. 6. B. 7. A. 8. A. 9. C. 10. A.

Bạn đang khám phá nội dung bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số trong chuyên mục sgk toán 12 trên nền tảng toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.