THCS
THCS
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số trong chương trình Giải tích 12. Đây là một chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Đối với bài toán chứa tham số liên quan đến đường tiệm cận, việc biện luận số tiệm cận hoặc tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện nào đó thường được thực hiện theo một quy trình logic gồm các bước sau:
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \frac{{(2m + 1)x + 3}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đi qua điểm \(A( – 2;7).\)
Nếu \(m = 1\), hàm số trở thành \(y = \frac{{3x + 3}}{{x + 1}} = 3\), không có tiệm cận. Với \(m \ne 1\), đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = -1\) và tiệm cận ngang \(y = 2m + 1\). Đường tiệm cận ngang đi qua \(A(-2;7)\) khi và chỉ khi \(7 = 2m + 1 \Leftrightarrow m = 3\).
Ví dụ 2. Tìm hai số \(a\), \(b\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{(4a – b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b – 12}}\) nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận.
Để đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(4a – b){x^2} + ax + 1}}{{{x^2} + ax + b – 12}} = 0 \Leftrightarrow 4a – b = 0\). Để đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, biểu thức \({x^2} + ax + b – 12\) phải nhận \(x = 0\) làm nghiệm, tức là \(b = 12\). Suy ra \(a = 3\). Vậy \(a = 3\) và \(b = 12\).
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang.
Nếu \(m = 0\), hàm số trở thành \(y = x + 1\), không có tiệm cận ngang. Nếu \(m < 0\), tập xác định của hàm số là khoảng \(\left( { – \frac{1}{{\sqrt { – m} }};\frac{1}{{\sqrt { – m} }}} \right)\), đồ thị không có tiệm cận ngang. Nếu \(m > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{1}{{\sqrt m }}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \frac{1}{{\sqrt m }}\). Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang khi \(m > 0\).
Ví dụ 4. Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đồ thị hàm số \(y = \frac{{2mx – 3}}{{x + m}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\)?
Tiệm cận ngang là \(y = 2m\). Do đó, \(2m = 2 \Leftrightarrow m = 1\).
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{mx – 1}}\) không có tiệm cận đứng.
Hàm số không có tiệm cận đứng khi \(mx – 1 = 0\) không có nghiệm hoặc \(mx - 1\) có nghiệm \(x = 3\). Trường hợp 1: \(m = 0\). Trường hợp 2: \(3m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\). Vậy \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{1}{3}\).
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 3}}{{4x – 2n + 5}}\). Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 2\) và nhận trục tung là tiệm cận đứng. Khi đó tổng \(m + n\) bằng?
Đáp án: B. \(\frac{{21}}{2}\).
Bài 2. Với giá trị \(m\) nào thì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x – 1}}{{2x – m}}\) đi qua điểm \(M(1;3).\)
Đáp án: B. \(m = 2\).
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{m^2}x – 4}}{{mx – 1}}\) có tiệm cận đứng đi qua điểm \(A(1;4).\)
Đáp án: B. \(m = 1\).
Bài 4. Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = \frac{{(n – 3)x + n – 2017}}{{x + m + 3}}\) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của \(m + n\) là?
Đáp án: A. \(0\).
Bài 5. Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{(m – 2n){x^2} + mx + 1}}{{{x^2} – mx + m – n}}\) nhận đường thẳng \(x = 1\) làm một tiệm cận đứng và trục hoành làm tiệm cận ngang thì \(m + n\) bằng:
Đáp án: A. \(3\).
Bài 6. Các giá trị của tham số \(a\) để đồ thị hàm số \(y = ax + \sqrt {4{x^2} + 1} \) có tiệm cận ngang là:
Đáp án: A. \(a = \pm 2\).
Bài 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} – 3x + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
Đáp án: C. \(m \in \{ – 1; – 4\} .\)
Bài 8. Tìm tập hợp các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} – mx – 3m} }}\) có đúng hai tiệm cận đứng.
Đáp án: D. \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right].\)
Bài 9. Cho hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{m{x^2} – 2x + 3}}.\) Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì:
Đáp án: B. \(m = 0\), \(m = 1\).
Bài 10. Cho hàm số \(y = \frac{{12 + \sqrt {4x – {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} – 6x + 2m} }}\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right).\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.
Đáp án: A. \(S = \left[ {4;\frac{9}{2}} \right).\)
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + a}}{{{x^3} + a{x^2}}}\) có ba đường tiệm cận.
Bài 2. Số các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng là:
Bài 3. Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 6x + m}}{{4x – m}}\) có hai đường tiệm cận đứng.
Bài 4. Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – m}}.\) Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì:
Bài 5. Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{mx – 1}}\) không có tiệm cận đứng?
Bài 6. Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx – 2}}.\) Tìm \(a\), \(b\) để đồ thị hàm số có \(x = 1\) là tiệm cận đứng và \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.
Bài 7. Cho hàm số \(y = \sqrt {m{x^2} + 2x} – x.\) Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{(x – 1)}^2} + 4} }}\) có hai tiệm cận đứng.
Bài 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{12 + \sqrt {4x – {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} – 6x + 2m} }}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.
V. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. B.
2. C.
3. B.
4. B.
5. B.
6. B.
7. A.
8. A.
9. C.
10. A.
