xác định hệ số của hàm số khi biết đồ thị hàm số

Bài viết này hướng dẫn phương pháp xác định hệ số của hàm số khi biết đồ thị hàm số, một kỹ năng quan trọng trong chương trình Giải tích 12. Nội dung được trình bày chi tiết, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để xác định hệ số của hàm số từ đồ thị, cần rèn luyện khả năng nhận diện đồ thị của các hàm số thường gặp như hàm bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức hữu tỉ. Điều này đòi hỏi việc nắm vững các đặc điểm cơ bản của đồ thị, bao gồm:

• Hình dạng cơ bản của đồ thị.
• Vị trí các điểm cực trị.
• Tính đồng biến, nghịch biến thể hiện trên đồ thị.
• Giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới vô cùng: \(\lim_{x \to +\infty} y\) và \(\lim_{x \to -\infty} y\).
• Các đường tiệm cận của đồ thị.
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).

Từ đồ thị, ta có:

• \(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty\) nên \(a > 0\).
• Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(d < 0\).
• Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung, suy ra \(y’ = 0\) có hai nghiệm trái dấu, do đó \(ac < 0\) hay \(c < 0\).
• Từ đồ thị, ta thấy \(x_1 + x_2 > 0\), mà \(x_1 + x_2 = -\frac{2b}{3a}\), nên \(-\frac{2b}{3a} > 0\) suy ra \(b < 0\).

Vậy \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\), \(d < 0\).

Ví dụ 2. Cho hàm số \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), \(c\).

Từ đồ thị, ta có:

• \(\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to -\infty} y = +\infty\) nên \(a > 0\).
• Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\).
• Đồ thị có ba điểm cực trị, suy ra \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 0\) có ba nghiệm phân biệt, do đó \(-\frac{b}{2a} > 0\) hay \(b < 0\).

Vậy \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\).

Ví dụ 3. Cho hàm số \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) có đồ thị như hình vẽ. Hãy xác định dấu của \(ad – bc\), \(bd\), \(ab\), \(ac\), \(cd\).

Từ đồ thị, ta có:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên \(ad – bc > 0\).
• Đồ thị có đường tiệm cận đứng \(x = -\frac{d}{c}\) nằm bên phải trục tung nên \(-\frac{d}{c} > 0\) hay \(cd < 0\).
• Đồ thị có đường tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\) nằm trên trục hoành nên \(\frac{a}{c} > 0\) hay \(ac > 0\).
• Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(A(-\frac{b}{a}; 0)\) có hoành độ dương nên \(-\frac{b}{a} > 0\) hay \(ab < 0\).
• Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(B(0; \frac{b}{d})\) có tung độ dương nên \(\frac{b}{d} > 0\) hay \(bd > 0\).

Vậy \(ad – bc > 0\), \(bd > 0\), \(ab < 0\), \(ac > 0\), \(cd < 0\).

(Các ví dụ 4, 5, 6 và các bài tập tiếp theo được trình bày tương tự, bao gồm đề bài, hình ảnh và lời giải chi tiết.)

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luyện được trình bày tương tự như các ví dụ minh họa, bao gồm câu hỏi, hình ảnh (nếu có) và đáp án.)

Đánh giá và nhận xét:

Bài viết cung cấp một hướng dẫn toàn diện về phương pháp xác định hệ số của hàm số khi biết đồ thị. Các ví dụ minh họa được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp người đọc nắm bắt được các bước thực hiện và các lưu ý quan trọng. Phần bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luyện đa dạng, giúp người đọc rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức. Việc sử dụng hình ảnh minh họa trực quan giúp người đọc dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về các khái niệm và phương pháp giải bài tập.