tìm điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có n nghiệm

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để phương trình \(f(x) = g(m)\) có \(n\) nghiệm thực, ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chương trình Giải tích 12. Đây là một kỹ năng quan trọng giúp học sinh giải quyết các bài toán trắc nghiệm và tự luận một cách hiệu quả.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải quyết bài toán tìm điều kiện để phương trình \(f(x) = g(m)\) có \(n\) nghiệm thực, ta thường chuyển đổi bài toán về việc tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = g(m)\). Số giao điểm phân biệt của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng \(y = g(m)\) chính là số nghiệm phân biệt của phương trình \(f(x) = g(m)\).

Xét bài toán tổng quát: Tìm \(m\) để phương trình \(f(x;m) = 0\) có nghiệm \(x \in D\). Quy trình giải bài toán này bao gồm các bước sau:

1. Bước 1: Cô lập \(m\). Biến đổi phương trình \(f(x;m) = 0\) để đưa về dạng \(f(x) = g(m)\).
2. Bước 2: Khảo sát hàm số \(f(x)\). Khảo sát hàm số \(f(x)\) trên tập xác định \(D\) để xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ bảng biến thiên.
3. Bước 3: Kết luận điều kiện. Dựa vào bảng biến thiên và số nghiệm yêu cầu của bài toán, kết luận điều kiện cần tìm của tham số \(m\).

Chú ý:

• Nếu tồn tại \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\) và \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\) và bài toán chỉ yêu cầu tìm \(m\) để phương trình \(f(x;m) = 0\) có nghiệm, ta có thể sử dụng điều kiện: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\mathop {\min }\limits_D f(x) \le g(m) \le \mathop {\max }\limits_D f(x)\).
• Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện tham số để phương trình \(f(x;m) = 0\) có \(n\) nghiệm phân biệt, ta cần tìm điều kiện để đường thẳng \(y = g(m)\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại \(n\) điểm phân biệt.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(x^3 – 2x^2 + x – m + 5 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Ta có \(x^3 – 2x^2 + x – m + 5 = 0 \Leftrightarrow x^3 – 2x^2 + x + 5 = m\). Xét hàm số \(f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 5\). Suy ra \(f'(x) = 3x^2 – 4x + 1\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\). Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt khi \(5 < m < \frac{139}{27}\).

Ví dụ 2. Cho phương trình \(x^4 – 2x^2 – 2 – 3m = 0\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có \(x^4 – 2x^2 – 2 – 3m = 0 \Leftrightarrow x^4 – 2x^2 – 2 = 3m\). Xét hàm số \(f(x) = x^4 – 2x^2 – 2\). Khi đó \(f'(x) = 4x^3 – 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1\). Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm khi \(3m \ge –3 \Leftrightarrow m \ge –1\).

Ví dụ 3. Cho phương trình \(x^3 – 3mx + 2 = 0\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{1}{2};2 \right)\).

Ta có \(x^3 – 3mx + 2 = 0 \Leftrightarrow x^3 + 2 = 3mx \Leftrightarrow 3m = x^2 + \frac{2}{x}\). Xét hàm số \(f(x) = x^2 + \frac{2}{x}\) trên \(\left( \frac{1}{2};2 \right)\). Khi đó \(f'(x) = 2x – \frac{2}{x^2}\), \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình có nghiệm trên khoảng \(\left( \frac{1}{2};2 \right)\) khi \(3 \le 3m < 5 \Leftrightarrow 1 \le m < \frac{5}{3}\).

Ví dụ 4. Cho phương trình \(\sin^2 x + m\sin x – 2m + 5 = 0\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có \(\sin^2 x + m\sin x – 2m + 5 = 0 \Leftrightarrow \sin^2 x + 5 = m(2 – \sin x)\). Đặt \(t = \sin x\), với \(t \in [-1;1]\). Khi đó \(t^2 + 5 = m(2 – t) \Leftrightarrow m = \frac{t^2 + 5}{2 – t}\). Xét hàm số \(f(t) = \frac{t^2 + 5}{2 – t}\) với \(t \in [-1;1]\). Khi đó \(f'(t) = \frac{-t^2 + 4t + 5}{(2 – t)^2}\), \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = -1\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình có nghiệm khi \(m \in [2;6]\).

Ví dụ 5. Cho phương trình \(\sin x + \cos x + 2m\sin x\cos x + 4m – 1 = 0\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\), với \(t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\). Khi đó \(t^2 = 1 + 2\sin x\cos x \Leftrightarrow 2\sin x\cos x = t^2 – 1\). Phương trình trở thành \(t + m(t^2 – 1) + 4m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1 - t}{t^2 + 3}\). Xét hàm số \(f(t) = \frac{1 - t}{t^2 + 3}\) với \(t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\). Khi đó \(f'(t) = \frac{-t^2 + 2t - 3}{(t^2 + 3)^2}\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình có nghiệm khi \(m \in [\frac{1 - \sqrt{2}}{5};\frac{1}{2}]\).

Ví dụ 6. Cho phương trình \(x^2 + m(\sqrt{4 – x^2} + 1) – 7 = 0\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Đặt \(t = \sqrt{4 – x^2}\), với \(0 \le t \le 2\). Khi đó \(x^2 = 4 – t^2\). Phương trình trở thành \(4 – t^2 + m(t + 1) – 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{t^2 + 3}{t + 1}\). Xét hàm số \(f(t) = \frac{t^2 + 3}{t + 1}\) với \(t \in [0;2]\). Suy ra \(f'(t) = \frac{t^2 + 2t - 3}{(t + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình có nghiệm khi \(2 \le m \le 3\).

Ví dụ 7. Cho phương trình \(\sin x + \cos x + 2m\sin x\cos x + 4m – 1 = 0\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 8. Cho phương trình \(2x^3 – 3x^2 + 2m – 1 = 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trên đoạn \([-2;4]\).

Ví dụ 9. Cho phương trình \(4\sin^2 x – (m + 4)\sin x – 2m + 1 = 0\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có đúng bốn nghiệm phân biệt trên đoạn \([0;\pi]\).

Ví dụ 10. Cho phương trình \(-m^3x^6 + x^3 + 3(1 – m)x^2 + 6x + 4 = 0\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn \([-3;-1]\).

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập tự luyện và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)