THCS
THCS
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số trong chương trình Giải tích 12. Đây là một chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Bài viết trình bày rõ ràng phương pháp tiếp cận và minh họa bằng các ví dụ cụ thể, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết bài toán.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để giải bài toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số, ta sử dụng điều kiện tiếp xúc sau:
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + m – 1\) có đồ thị \((C).\) Tìm \(m\) để đường thẳng \(d:y = m(x – 2) + m – 5\) là tiếp tuyến của đồ thị \((C).\)
Để đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của \((C)\), hệ phương trình sau phải có nghiệm:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} – 3{x^2} + m – 1 = m(x – 2) + m – 5}\\ {3{x^2} – 6x = m} \end{array}} \right.\)
Biến đổi phương trình, ta được \(2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4 = 0\). Giải phương trình này, ta tìm được \(x = \frac{1}{2}\) và \(x = 2\). Thay các giá trị này vào phương trình \(3{x^2} – 6x = m\), ta tìm được \(m = – \frac{9}{4}\) và \(m = 0\). Vậy có hai giá trị của \(m\) cần tìm là \(m = – \frac{9}{4}\) và \(m = 0.\)
Ví dụ 2. Tìm \(m\) để tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C):y = \frac{{2x + m}}{{x – 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) chắn hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng \(\frac{1}{2}.\)
Tính đạo hàm \(y’ = \frac{{ – 2 – m}}{{{{(x – 1)}^2}}}.\). Tại \(x_0 = 2\), ta có \(y_0 = 4 + m\) và \(y'(2) = – 2 – m\). Phương trình tiếp tuyến là \(y = – (2 + m)(x – 2) + 4 + m\), hay \(y = – (2 + m)x + 8 + 3m\). Tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại \(A\left( {\frac{{8 + 3m}}{{2 + m}};0} \right)\) và \(B(0;8 + 3m)\). Diện tích tam giác OAB là \(\frac{1}{2}\left| {\frac{{8 + 3m}}{{2 + m}} \right|.\left| {8 + 3m} \right| = \frac{1}{2}\). Giải phương trình này, ta tìm được \(m = – 3\) và \(m = – \frac{{22}}{9}\).
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = {x^3} – 6{x^2} + 3(m + 2)x + 4m – 5\) có đồ thị \((C).\) Tìm \(m\) sao cho trên \((C)\) có đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn \(1\) sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y + 2x + 3 = 0.\)
Ta có \(y’ = 3{x^2} – 12x + 3(m + 2).\). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\) là \(k = 3x_0^2 – 12{x_0} + 3(m + 2).\). Hệ số góc của \(\Delta \) là \( – \frac{1}{2}.\). Do tiếp tuyến vuông góc với \(\Delta \), ta có \(3x_0^2 – 12{x_0} + 3(m + 2) = 2\), suy ra \(3x_0^2 – 12{x_0} + 3m + 4 = 0\). Để có hai nghiệm phân biệt lớn hơn \(1\), ta cần thỏa mãn các điều kiện \(m < 3\), \(4 – 2 > 0\), và \(3m + 4 – 4 + 1 > 0\), dẫn đến \( – \frac{1}{3} < m < 3.\)
Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} + 1\) có đồ thị \((C).\) Đường thẳng \(\Delta :y = – x + 1\) cắt \((C)\) tại ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C(0;1).\) Tìm \(m\) sao cho tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A\) và \(B\) vuông góc với nhau.
Ta có \(y’ = 3{x^2} + 2mx\). Phương trình hoành độ giao điểm là \({x^3} + m{x^2} + 1 = – x + 1\), suy ra \(x(x^2 + mx + 1) = 0\). Để \(\Delta \) cắt \((C)\) tại ba điểm phân biệt, phương trình \(x^2 + mx + 1 = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác \(0\). Điều này xảy ra khi \(m^2 – 4 > 0\), tức là \(m < -2\) hoặc \(m > 2\). Gọi \(x_A\) và \(x_B\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 + mx + 1 = 0\). Khi đó, \(y’(x_A)y’(x_B) = -1\), dẫn đến \(m = \pm \sqrt{5}\).
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
(Các bài tập tự luyện và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)
Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chi tiết và đầy đủ về phương pháp giải bài toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số. Các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
```
