dựa vào đồ thị hàm số giải các bài toán liên quan

Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số, ta có thể xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, điều kiện cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và biện luận số nghiệm của phương trình. Đây là dạng bài tập đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức đã học. Lưu ý công thức đạo hàm hàm hợp: \(y = f(u(x))\) thì \(y'(x) = f'(u(x)).u'(x).\)

I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y = f(3x – 1)\) nghịch biến trong khoảng nào?

A. \(( – 1;1).\)

B. \(( – 4;2).\)

C. \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right).\)

D. \(\left( {\frac{1}{3};2} \right).\)

Giải: Từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\), ta thấy hàm số nghịch biến trong khoảng \((-1;1)\). Khi đó, \(y = f(3x – 1) \Rightarrow y’ = 3f'(3x – 1)\). Do đó, \(y’ < 0 \Leftrightarrow 3f'(3x – 1) < 0 \Leftrightarrow f'(3x – 1) < 0 \Leftrightarrow -1 < 3x – 1 < 1 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{2}{3}\).

Phân tích: Từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\), ta xác định khoảng điều kiện \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1\). Do đó, \(f'(3x – 1) < 0 \Leftrightarrow -1 < 3x – 1 < 1\).

Chọn đáp án C.

Bài 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \(y = f'(x)\) như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số \(y = f\left( {2{x^2} + 1} \right)\) đồng biến trong khoảng nào?

A. \(( – 1; + \infty ).\)

B. \(( – \infty ;0).\)

C. \(( – 1;1).\)

D. \((0; + \infty ).\)

Giải: Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\), ta có \(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -1\) và \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < -1\). Khi đó, \(y = f\left( {2{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y’ = (2{x^2} + 1)’.f’\left( {2{x^2} + 1} \right) = 4x.f’\left( {2{x^2} + 1} \right)\). Do đó, hàm số \(y = f\left( {2{x^2} + 1} \right)\) đồng biến khi \(4x.f’\left( {2{x^2} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 0}\\ {f’\left( {2{x^2} + 1} \right) \ge 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 0}\\ {f’\left( {2{x^2} + 1} \right) \le 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 0}\\ {2{x^2} + 1 \ge -1} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^2} + 1 = 1}\\ {2{x^2} + 1 \le -1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow x \ge 0\).

Phân tích: Bài toán cho đồ thị hàm số \(y’\) chứ không phải \(y = f(x)\), cần chú ý khi biện luận điều kiện \(y’ /> 0\) hoặc \(y’ < 0\).

Chọn đáp án D.

Bài 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y = f(3 – 4x)\) có cực đại bằng bao nhiêu?

A. \(x = \frac{1}{2}.\)

B. \(x = 1.\)

C. \(x = -2.\)

D. \(x = \frac{3}{2}.\)

Giải: Ta có \(y = f(3 – 4x) \Rightarrow y’ = -4f'(3 – 4x)\). Khi đó, \(y’ /> 0 \Leftrightarrow -4f'(3 – 4x) /> 0 \Leftrightarrow f'(3 – 4x) < 0 \Leftrightarrow -1 < 3 – 4x < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1\). Từ bảng xét dấu \(y’ = [f(3 – 4x)]’:\) suy ra hàm số \(y = f(3 – 4x)\) có cực đại tại \(x = 1\).

Chọn đáp án B.

Bài 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y = f(3x – 5)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. \(4.\)

B. \(3.\)

C. \(1.\)

D. \(2.\)

Giải: Ta có \(y = f(3x – 5) \Rightarrow y’ = 3f'(3x – 5)\). Khi đó, \(y’ /> 0 \Leftrightarrow 3f'(3x – 5) /> 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { – \sqrt 3 < 3x – 5 < – 1}\\ {0 < 3x – 5 < 1}\\ {\sqrt 3 < 3x – 5} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{5 – \sqrt 3 }}{3} < x < \frac{4}{3}}\\ {\frac{5}{3} < x < 2}\\ {\frac{{\sqrt 3 + 5}}{3} < x} \end{array}} \right..\). Tương tự, \(y’ < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < \frac{{5 – \sqrt 3 }}{3}}\\ {\frac{4}{3} < x < \frac{5}{3}}\\ {2 < x < \frac{{\sqrt 3 + 5}}{3}} \end{array}} \right..\). Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số có ba điểm cực tiểu.

Phân tích: Ngoài cách làm tự luận, có thể giải nhanh như sau: Vì \(y = f(3x – 5) \Rightarrow y’ = 3f'(3x – 5)\) có hệ số \(3 /> 0\) nên số khoảng đồng biến và nghịch biến của \(y = f'(x)\) và \(y = f'(3x – 5)\) giống nhau. Do đó, số điểm cực đại và cực tiểu của hai hàm số này cũng giống nhau.

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và có đạo hàm trên tập số thực \(R\). Biết đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ bên dưới. Xác định số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(g(x) = f(x) – 3x\).

A. \(0.\)

B. \(3.\)

C. \(1.\)

D. \(2.\)

Giải: Ta có \(g(x) = f(x) – 3x \Rightarrow g'(x) = f'(x) – 3\). Từ đồ thị hàm số \(f'(x)\), ta thấy phương trình \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1}\\ {x = a /> 0} \end{array}} \right..\). Khi đó, \(g'(x) /> 0 \Leftrightarrow x /> a\), \(g'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < a}\\ {x \ne – 1} \end{array}} \right..\). Do đó, \(g'(x)\) chỉ đổi dấu một lần qua \(x = a\). Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị.

Chọn đáp án C.

Bài 6. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên \(R\) có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 3x\). Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(g( – 4) = g( – 2).\)

B. \(g(0) \le g(2).\)

C. \(g(2) < g(4).\)

D. \(g( – 2) /> g(0).\)

Giải: Ta có \(g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 3x \Rightarrow g'(x) = f'(x) – (x + 3)\). Quan sát đồ thị hàm số \(y = f'(x)\), ta thấy \(f'(x) < x + 3\) với \(x \in (0;2)\) hoặc \(x \in ( – \infty ; – 2)\) và \(f'(x) /> x + 3\) với \(x \in ( – 2;0)\) hoặc \(x \in (2; + \infty )\). Từ bảng biến thiên, ta thấy \(g(2) < g(4)\).

Chọn đáp án C.

Bài 7. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và có đạo hàm trên tập số thực \(R\). Biết đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(g(x) = {f^2}(x) – 3f(x)\). Biết \(f(2) = 1\), \(f(0) = – 2\), \(f( – 1) = – 3\), \(f(3) = – 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = – \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\mathop {\max }\limits_R g(x) = 4.\)

B. \(\mathop {\max }\limits_R g(x) = 18.\)

C. \(\mathop {\min }\limits_R g(x) = 10.\)

D. \(\mathop {\min }\limits_R g(x) = – 2.\)

Giải: Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\), ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x)\). Ta có \(f(x) \le 1\), \(\forall x \in R\). \(g'(x) = (2f(x) – 3)f'(x)\). Vì \(f(x) \le 1\), \(\forall x \in R\), nên \(2f(x) – 3 < 0\). Do đó, \(g'(x) /> 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow x /> 2\). Vậy, \(\mathop {\min }\limits_R g(x) = – 2\).

Chọn đáp án D.

Bài 8. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên \(R\), có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 2x + m – 2\). Để \(g(x) \le 0\) với \(\forall x \in \left[ { – \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\) thì?

A. \(m \ge \frac{2}{3}f\left( { – \sqrt 5 } \right) – 4\sqrt 5 .\)

B. \(m \le \frac{2}{3}f(0) – 2\sqrt 5 .\)

C. \(m \le \frac{2}{3}f\left( {\sqrt 5 } \right).\)

D. \(m \ge \frac{2}{3}f\left( {\sqrt 5 } \right).\)

Giải: Ta có \(g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} – 2x + m – 2 \Rightarrow g'(x) = f'(x) – (x + 2)\). Do đó, \(g'(x) /> 0 \Leftrightarrow f'(x) /> x + 2\). Vậy, \(m \ge \frac{2}{3}f\left( {\sqrt 5 } \right)\).

Chọn đáp án D.

Bài 9. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên tập số thực \(R\) sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = + \infty \) có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ. Biết \(f(0) = 3\), \(f(1) = 5\). Tìm điều kiện \(m\) để đồ thị hàm số \(g(x) = f(x) – x + m – 2\) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

A. \(m = 2.\)

B. \(m /> -1.\)

C. \(m < -1.\)

D. \(m /> -2.\)

Giải: Ta có \(g(x) = f(x) – x + m – 2 \Rightarrow g'(x) = f'(x) – 1\). Vậy, \(m /> -1\).

Chọn đáp án B.

Bài 10. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên \(R\), có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} + x.\) Biết \(f(-2) = -3\), \(f(0) = 0\), \(f(2) = 2\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} + x + m\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \([-2;2]\) bằng \(5\).

A. \(m = 7.\)

B. \(m = 11.\)

C. \(m = 9.\)

D. \(m = 2.\)

Giải: Ta có \(g(x) = f(x) – \frac{1}{2}{x^2} + x + m \Rightarrow g'(x) = f'(x) – x + 1\). Vậy, \(m = 7\).

Chọn đáp án A.

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. A.

Bài 2. B.

Bài 3. B.

Bài 4. D.

Bài 5. D.

Bài 6. A.

Bài 7. D.

Bài 8. B.

Bài 9. C.

Bài 10. B.