bài toán tương giao trong không gian oxyz

Tài liệu hướng dẫn giải bài toán tương giao trong không gian Oxyz, do thầy giáo Lê Thảo (THPT Nguyễn Thị Minh Khai, Hà Nội) và thầy giáo Bùi Sỹ Khanh (THPT Trần Cao Vân, TP. Hồ Chí Minh) biên soạn, là một nguồn tài liệu hữu ích dành cho học sinh THPT đang ôn luyện cho kỳ thi tốt nghiệp. Với độ dài 18 trang, tài liệu tập trung vào một dạng toán quan trọng – bài toán tương giao, thường xuất hiện ở mức độ vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC) trong các đề thi thử và chính thức.

I. NHẮC LẠI LÝ THUYẾT

1. Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Xét trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² với tâm I(a, b, c) và bán kính R. Mối quan hệ giữa mặt cầu và mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách d(I, P):

• Nếu d(I, P) > R: Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.
• Nếu d(I, P) = R: Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có duy nhất một điểm chung H, tức là mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H và IH vuông góc với (P).
• Nếu d(I, P) < R: Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo một đường tròn tâm H, bán kính r. Khi đó:
  • H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
  • r² = R² - d(I, P)² = IH² + r²
• Trường hợp đặc biệt:
  • Với điểm M nằm trong mặt cầu (S), mặt phẳng (P) đi qua M cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r nhỏ nhất khi mặt phẳng (P) vuông góc với IM.
  • Mặt phẳng (P) đi qua M cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r lớn nhất khi mặt phẳng (P) đi qua hai điểm I và M.
2. Tương giao giữa mặt cầu và đường thẳng.

Xét trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ và mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt cầu được xác định bởi khoảng cách d(I, Δ):

• Nếu d(I, Δ) > R: Đường thẳng Δ và mặt cầu (S) không có điểm chung.
• Nếu d(I, Δ) = R: Đường thẳng Δ và mặt cầu (S) có duy nhất một điểm chung H, tức là đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H và IH vuông góc với Δ.
• Nếu d(I, Δ) < R: Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B. Khi đó:
  • H là trung điểm của đoạn AB và IH vuông góc với Δ.
  • AH = BH và 4IH² + AB² = 4R²
• Trường hợp đặc biệt:
  • Với điểm M, đường thẳng Δ đi qua M cắt (S) tại hai điểm A và B sao cho độ dài AB lớn nhất khi đường thẳng Δ đi qua hai điểm M và I.
  • Đường thẳng Δ đi qua M cắt (S) tại hai điểm A và B sao cho độ dài AB nhỏ nhất khi đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với IM.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Đánh giá và nhận xét: Tài liệu cung cấp một hệ thống lý thuyết cô đọng, dễ hiểu về các trường hợp tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng, mặt cầu và đường thẳng. Việc trình bày dưới dạng liệt kê, kèm theo các công thức và điều kiện cụ thể giúp học sinh dễ dàng nắm bắt và áp dụng vào giải bài tập. Các trường hợp đặc biệt được nêu bật, giúp học sinh mở rộng kiến thức và xử lý các bài toán phức tạp hơn. Phần ví dụ minh họa và bài tập rèn luyện là một điểm cộng, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.