các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – đặng việt đông

Trong bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán ngày càng chú trọng khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán phức tạp, tích phân hàm ẩn nổi lên như một dạng toán vận dụng cao (VDC) thường xuyên xuất hiện trong các đề thi thử. Tuy nhiên, một thực tế đáng lưu ý là dạng toán này lại ít được đề cập một cách chi tiết trong chương trình Giải tích 12, gây ra không ít khó khăn cho học sinh trong việc tiếp cận và chinh phục.

Nhằm giải quyết vấn đề này, Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh tài liệu chuyên đề "Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình" do thầy Đặng Việt Đông biên soạn. Tài liệu này được biên soạn công phu, bao gồm 57 trang, tập trung vào việc hướng dẫn giải chi tiết các dạng toán tích phân hàm ẩn thường gặp trong đề thi trắc nghiệm Toán 12 và đặc biệt là đề thi thử THPT Quốc gia. Đây là một nguồn tài liệu quý giá, giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin đối mặt với các bài toán tích phân hàm ẩn trong kỳ thi quan trọng.

Khái quát nội dung chuyên đề:

Chuyên đề được cấu trúc một cách khoa học, phân loại các dạng tích phân hàm ẩn theo phương pháp giải, giúp học sinh dễ dàng nắm bắt và áp dụng:

• DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP.

  Dạng toán này tập trung vào việc vận dụng các quy tắc đạo hàm của hàm số hợp để biến đổi và giải tích phân. Chuyên đề cung cấp các công thức quan trọng:

  1. Nếu \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) thì \((uv)’ = u’v + uv’.\) Nếu \(\left[ {f(x).g(x)} \right]’ = h(x)\) thì \(f(x).g(x) = \int h (x)dx.\)
  2. Nếu \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) thì \(\left( {\frac{u}{v}} \right)’ = \frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}\) với \(v \ne 0.\) Nếu \(\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \right)’ = h(x)\) thì \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \int h (x)dx.\)
  3. Nếu \(u = u(x)\) thì \(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\) với \(u /> 0.\) Nếu \(\left[ {\sqrt {f(x)} } \right]’ = h(x)\) thì \(\sqrt {f(x)} = \int h (x)dx.\)
  4. Nếu \(u = u(x)\) thì \(\left( {{e^u}} \right)’ = u’.{e^u}.\) Nếu \(\left( {{e^{f(x)}}} \right)’ = g(x)\) thì \({e^{f(x)}} = \int g (x)dx.\)
  5. Nếu \(u = u(x)\) nhận giá trị dương trên K thì \([\ln u]’ = \frac{{u’}}{u}\) trên \(K.\) Nếu \(\left[ {\ln (f(x))} \right]’ = g(x)\) thì \(\ln (f(x)) = \int g (x)dx.\)

• DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.

  Phương pháp đổi biến là một công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán tích phân hàm ẩn. Chuyên đề phân loại thành các dạng nhỏ hơn, giúp học sinh dễ dàng nhận diện và áp dụng:

  • TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Cho \(\int_a^b {u’} (x).f[u(x)]dx\), tính \(\int_a^b f (x)dx.\) Hoặc cho \(\int_a^b f (x)dx\), tính \(\int_a^b {u’} (x).f[u(x)]dx.\)
  • TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Tính \(\int_a^b f (x)dx\), biết hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(A.f(x) + B.u’.f(u) + C.f(a + b – x) = g(x).\)
  • TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3: Lần lượt đặt \(t = u(x)\) và \(t = v(x)\) để giải hệ phương trình hai ẩn, suy ra hàm số \(f(x).\)
  • TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4: Cho \(f(x).f(a + b – x) = {k^2}\), khi đó \(I = \int_a^b {\frac{{dx}}{{k + f(x)}}} = \frac{{b – a}}{{2k}}.\)
  • TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: Cho hàm số \(y = f(x)\) thỏa mãn \(g[f(x)] = x\) và \(g(t)\) là hàm đơn điệu. Hãy tính tích phân \(I = \int_a^b f (x)dx.\)

• DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN.

  Chuyên đề chỉ ra rằng phương pháp tích phân từng phần thường được áp dụng khi giả thiết hoặc kết luận có chứa các tích phân dạng \(\int_a^b u (x).f'(x)dx\) hoặc \(\int_a^b {u’} (x).f(x)dx.\)

• DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1.

  Dạng toán này liên quan đến việc giải tích phân khi gặp biểu thức \(f'(x) + p(x).f(x) = h(x).\)

Ưu điểm của chuyên đề:

• Tính hệ thống: Tài liệu bao quát hầu hết các dạng tích phân hàm ẩn thường gặp trong đề thi.
• Tính chi tiết: Hướng dẫn giải cụ thể, dễ hiểu, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
• Tính ứng dụng: Tập trung vào các bài toán có tính thực tiễn cao, giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi.
• Tính cập nhật: Nội dung được biên soạn dựa trên kinh nghiệm luyện thi và xu hướng ra đề hiện nay.

Chuyên đề "Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình" của thầy Đặng Việt Đông là một tài liệu không thể thiếu cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, đặc biệt là những em muốn chinh phục điểm cao ở các câu hỏi vận dụng cao. Bằng cách nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng thông qua tài liệu này, học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tích phân hàm ẩn trong kỳ thi quan trọng sắp tới.