các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn bảo vương

Tài liệu ôn tập Đại số và Giải tích 11 – Chương 4: Giới hạn, do thầy Nguyễn Bảo Vương biên soạn, là một nguồn tài liệu hữu ích dành cho học sinh. Với độ dài 140 trang, tài liệu bao gồm các nội dung trọng tâm về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục. Điểm nổi bật của tài liệu là sự kết hợp giữa lý thuyết và bài tập thực hành, với các bài tập trắc nghiệm và tự luận có lời giải chi tiết, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Nội dung chi tiết:

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
• Vấn đề 1: Tìm giới hạn bằng định nghĩa
• Phương pháp:
  • Chứng minh lim un = 0: Chứng minh với mọi a > 0, tồn tại na sao cho |un| < a với mọi n > na.
  • Chứng minh lim un = 1: Chứng minh lim(un – 1) = 0.
  • Chứng minh lim un = +∞: Chứng minh với mọi M > 0, tồn tại nM sao cho un > M với mọi n > nM.
  • Chứng minh lim un = -∞: Chứng minh lim (-un) = +∞.
  • Lưu ý: Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất.
• Vấn đề 2: Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
• Phương pháp: Sử dụng định lý giới hạn và biến đổi về giới hạn cơ bản.
  • Khi tìm lim f(n)/g(n), chia cả tử và mẫu cho n^k (k là bậc lớn nhất của tử và mẫu).
  • Khi tìm lim [(f(n))^1/k – (g(n))^1/m] (lim f(n) = lim g(n) = +∞), tách và nhân lượng liên hợp.
2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
• Vấn đề 1: Tìm giới hạn bằng định nghĩa
• Vấn đề 2: Tìm giới hạn của hàm số
• Bài toán 01: Tìm lim f(x) khi x → x0 (xác định tại x0).
• Bài toán 02: Tìm lim f(x)/g(x) khi x → x0 (f(x0) = g(x0) = 0).
• Bài toán 03: Tìm lim f(x)/g(x) khi x → ±∞ (f(x), g(x) → ∞ – dạng vô định ∞/∞).
• Bài toán 04: Dạng vô định ∞ – ∞ và 0.∞.
• Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác.
3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
• Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
• Phương pháp:
  • Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x0 và tính f(x0).
  • So sánh lim f(x) khi x → x0 với f(x0).
• Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
• Phương pháp: Sử dụng định lý về tính liên tục của hàm đa thức, lượng giác, phân thức hữu tỉ. Xét tính liên tục trên từng khoảng và tại điểm chia.
• Vấn đề 3: Chứng minh phương trình có nghiệm
• Phương pháp:
  • Chứng minh f(x) = 0 có nghiệm trên D: f(x) liên tục trên D và f(a).f(b) < 0 với a, b ∈ D.
  • Chứng minh f(x) = 0 có k nghiệm trên D: f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) sao cho f(ai).f(ai+1) < 0.

Đánh giá:

Tài liệu có cấu trúc rõ ràng, phân chia thành các vấn đề cụ thể, giúp người học dễ dàng tiếp cận và nắm bắt kiến thức. Các phương pháp giải bài tập được trình bày chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự học và luyện tập. Việc cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trắc nghiệm và tự luận là một điểm cộng lớn, giúp học sinh tự kiểm tra và đánh giá kết quả học tập của mình.