căn bậc ba

Bài viết này cung cấp một tổng quan toàn diện về căn bậc ba, một chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số 9. Nội dung bao gồm định nghĩa, tính chất, phương pháp so sánh và các kỹ năng tính toán cơ bản, cùng với các dạng bài tập thường gặp và hướng dẫn giải chi tiết.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Căn bậc ba của một số \(a\) là một số \(x\) sao cho \({x^3} = a\). Ta viết: \(x = \sqrt[3]{a}\) \( \Leftrightarrow {x^3} = a\). Định nghĩa này là nền tảng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến căn bậc ba.

2. Tính chất

Mỗi số \(a\) đều có duy nhất một căn bậc ba. Điều này đảm bảo tính xác định của phép khai căn bậc ba. Căn bậc ba của một số dương là một số dương, căn bậc ba của một số âm là một số âm, và căn bậc ba của số 0 là số 0. Những tính chất này giúp xác định dấu của kết quả khi khai căn bậc ba.

3. So sánh các căn bậc ba

Với \(a\), \(b\) là hai số thực bất kỳ, ta có: \(a < b\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\). Tính chất này cho phép so sánh các căn bậc ba một cách dễ dàng bằng cách so sánh các số bên trong căn.

4. Khai căn bậc ba của một biểu thức

Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\) để đơn giản hóa các biểu thức chứa căn bậc ba. Đây là một kỹ năng quan trọng để rút gọn và giải các bài toán phức tạp hơn.

5. Các phép tính

a) \(\sqrt[3]{{A.B}} = \sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}\), suy ra \({(\sqrt[3]{A})^n} = \sqrt[3]{{{A^n}}}\) với \(n \in N, n > 0\). Những tính chất này cho phép thực hiện các phép nhân, chia và lũy thừa trên các căn bậc ba.

b) \(\sqrt[3]{{\frac{A}{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{A}}}{{\sqrt[3]{B}}}\) với \(B \ne 0\). Tính chất này cho phép thực hiện phép chia trên các căn bậc ba.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. TÌM CĂN BẬC BA CỦA MỘT SỐ, MỘT BIỂU THỨC – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH \({x^3} = a\)

I. Phương pháp giải

1. Khai căn bậc ba một số, một biểu thức nhờ hằng đẳng thức \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\).

2. Giải phương trình \({x^3} = a\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{a}\).

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tính: \(\sqrt[3]{8}\), \(\sqrt[3]{{ – 343}}\), \(\sqrt[3]{{0,064}}\), \(\sqrt[3]{{ – 0,126}}\), \(\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{125}}}}\), \(\sqrt[3]{{ – \frac{1}{{512}}}}.\). Các ví dụ này minh họa cách áp dụng định nghĩa và tính chất để tính căn bậc ba của các số khác nhau.

Ví dụ 2: Tìm:

a) \(\sqrt[3]{{27{a^3}}}.\)

b) \(\sqrt[3]{{ – 64{a^6}}}.\)

c) \(\sqrt[3]{{ – 0,027{x^9}}}.\)

d) \(\sqrt[3]{{\frac{{125{x^3}}}{8}}}.\). Các ví dụ này rèn luyện kỹ năng áp dụng hằng đẳng thức và tính chất để rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) \({x^3} = 1.\)

b) \(8{x^3} = – 27.\)

c) \(2{x^3} = 0,016.\)

d) \(\sqrt[3]{{2x – 1}} = 3.\)

e) \(\sqrt[3]{{2 – 3x}} = – 2.\)

f) \(\sqrt[3]{{x – 1}} + 1 = x.\). Các ví dụ này giúp học sinh làm quen với việc giải các phương trình chứa căn bậc ba.

III. Bài tập

Bài tập 1: Tính: \(\sqrt[3]{{ – 216}}\), \(\sqrt[3]{{512}}\), \(\sqrt[3]{{ – 1331}}\), \(\sqrt[3]{{729}}.\)

Bài tập 2: Tính: \(\sqrt[3]{{0,001{x^3}}}\), \(\sqrt[3]{{ – 125{a^{12}}}}\), \(\sqrt[3]{{27{x^6}}}\), \(\sqrt[3]{{ – 0.343{a^3}}}.\)

Bài tập 3: Giải phương trình:

a) \({x^3} = 2.\)

b) \(27{x^3} = – 81.\)

c) \(\frac{1}{2}{x^3} = 0,4.\)

d) \(\sqrt[3]{{3x + 1}} = 4.\)

e) \(\sqrt[3]{{3 – 2x}} = – 3.\)

f) \(\sqrt[3]{{x – 2}} + 2 = x.\)

Dạng 2. SO SÁNH CÁC CĂN BẬC BA – TÌM MỘT SỐ BIẾT THỨ TỰ CĂN BẬC BA CỦA NÓ

I. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất \(a < b\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\) với \(a\), \(b\) là các số thực tuỳ ý.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: So sánh:

a) \(5\) và \(\sqrt[3]{{123}}.\)

b) \(5\sqrt[3]{6}\) và \(6\sqrt[3]{5}.\). Các ví dụ này minh họa cách sử dụng tính chất so sánh để xác định mối quan hệ giữa các căn bậc ba.

Ví dụ 2: Tìm số thực \(x\) biết:

a) \(\sqrt[3]{x} /> 1.\)

b) \(\sqrt[3]{x} \ge 2.\)

c) \(2\sqrt[3]{x} \le 6.\)

d) \(3\sqrt[3]{x} \ge 12.\). Các ví dụ này rèn luyện kỹ năng giải các bất phương trình chứa căn bậc ba.

III. Bài tập

Bài tập 4: So sánh:

a) \(3\sqrt[3]{2}\) và \(\sqrt[3]{{55}}.\)

b) \(3\sqrt[3]{4}\) và \(2\sqrt[3]{{13}}.\)

Bài tập 5: Tìm số thực \(x\) biết:

a) \(\sqrt[3]{x} < 2.\)

b) \(\sqrt[3]{{2x – 1}} /> – 3.\)

c) \(\sqrt[3]{{2 – 3x}} \le 1.\)

d) \(\sqrt[3]{{3 – 4x}} \ge 5.\)

Dạng 3. TÍNH GIÁ TRỊ – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

I. Phương pháp giải

Rút gọn đồng nghĩa với thu gọn.

+ Bước 1: Khai căn một biểu thức.

+ Bước 2: Thu gọn.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tính:

a) \(\sqrt[3]{{27}} – \sqrt[3]{{ – 8}} – \sqrt[3]{{125}}.\)

b) \(\frac{{\sqrt[3]{{24}}}}{{\sqrt[3]{3}}} – \sqrt[3]{{32}}.\sqrt[3]{2}.\). Các ví dụ này minh họa cách thực hiện các phép toán trên các căn bậc ba.

Ví dụ 2: Rút gọn:

a) \(4ab\sqrt[3]{{\frac{{27{x^3}{y^6}}}{{64{a^{12}}{b^{15}}}}}}.\)

b) \(\frac{1}{{x{y^2}}}\sqrt[3]{{ – 8{x^3}{y^6}}}.\). Các ví dụ này rèn luyện kỹ năng rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba.

Ví dụ 3: Rút gọn:

a) \(M = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\)

b) \(N = \sqrt[3]{{6\sqrt 3 – 10}}.\)

c) \(P = \sqrt[3]{{5\sqrt 2 – 7}} – 33\sqrt 2 .\)

d) \(Q = \sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}} – 5\sqrt 3 .\).

Ví dụ 4: Rút gọn:

a) \((\sqrt[3]{2} – 1)(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1).\)

b) \((\sqrt[3]{3} + 2)(\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 4).\).

III. Bài tập

Bài tập 6: Rút gọn các biểu thức:

a) \(\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.\sqrt[3]{{ – 12}}.\sqrt[3]{2}.\)

b) \(\sqrt[3]{9}.\left( {\frac{1}{3}\sqrt[3]{3} – \frac{1}{6}\sqrt[3]{{24}}} \right).\)

c) \(\left( {\frac{1}{2}\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}} \right):2\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.\)

Bài tập 7: Rút gọn các biểu thức:

a) \(\sqrt[3]{{8\sqrt 5 + 16}}.\)

b) \(\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}.\)

Bài tập 8: Rút gọn các biểu thức:

a) \((\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{{49}} – \sqrt[3]{{14}} + \sqrt[3]{4}).\)

b) \(\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}.\)

c) \((\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{{49}} – \sqrt[3]{{14}} + \sqrt[3]{4}).\)

C. LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ

Bài tập 1:

\(\sqrt[3]{{ – 216}} = \sqrt[3]{{{{( – 6)}^3}}} = – 6.\)

\(\sqrt[3]{{512}} = \sqrt[3]{{{8^3}}} = 8.\)

\(\sqrt[3]{{729}} = \sqrt[3]{{{9^3}}} = 9.\)

Bài tập 2:

\(\sqrt[3]{{0,001{x^3}}} = \sqrt[3]{{{{(0,1x)}^3}}} = 0,1x.\)

\(\sqrt[3]{{ – 125{a^{12}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { – 5{a^4}} \right)}^3}}} = – 5{a^4}.\)

\(\sqrt[3]{{27{x^6}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2}} \right)}^3}}} = 3{x^2}.\)

\(\sqrt[3]{{ – 0,343{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{( – 0,7a)}^3}}} = – 0,7a.\)

Bài tập 3:

a) \({x^3} = 2\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{2}.\)

Vậy \(S = \{ \sqrt[3]{2}\} .\)

b) \(27{x^3} = – 81\) \( \Leftrightarrow {x^3} = – 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^3}}} = \sqrt[3]{{ – 3}}\) \( \Leftrightarrow x = – \sqrt[3]{3}.\)

Vậy \(S = \{ – \sqrt[3]{3}\} .\)

c) \(\frac{1}{2}{x^3} = 0,004\) \( \Leftrightarrow {x^3} = 0,008\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^3}}} = \sqrt[3]{{0,008}}\) \( \Leftrightarrow x = 0,2.\)

Vậy \(S = \{ 0,2\} .\)

d) \(\sqrt[3]{{3x + 1}} = 4\) \( \Leftrightarrow 3x + 1 = {4^3}\) \( \Leftrightarrow x = 21.\)

e) \(\sqrt[3]{{3 – 2x}} = – 3\) \( \Leftrightarrow 3 – 2x = {( – 3)^3}\) \( \Leftrightarrow x = 15.\)

f) \(\sqrt[3]{{x – 2}} + 2 = x\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x – 2}} = x – 2\) \( \Leftrightarrow x – 2 = {(x – 2)^3}.\)

\( \Leftrightarrow (x – 2)\left[ {{{(x – 2)}^2} – 1} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 2 = 1}\\

{{{(x – 2)}^2} = 1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{x – 2 = 1}\\

{x – 2 = – 1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{x = 3}\\

{x = 1}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(S = \{ 1;2;3\} .\)

Bài tập 4:

a) Vì \(54 < 55\) \( \Rightarrow \sqrt[3]{{54}} < \sqrt[3]{{55}}\) hay \(3\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{{55}}.\)

b) Vì \(108 /> 104\) \( \Rightarrow \sqrt[3]{{108}} /> \sqrt[3]{{104}}\) hay \(3\sqrt[3]{4} < 2\sqrt[3]{{13}}.\)

Bài tập 5:

a) \(\sqrt[3]{x} < 2\) \( \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{x})^3} < {2^3}\) \( \Leftrightarrow x < 8.\)

b) \(\sqrt[3]{{2x – 1}} /> – 3\) \( \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{2x – 1}})^3} /> {( – 3)^3}\) \( \Leftrightarrow 2x – 1 /> – 27\) \( \Leftrightarrow x /> – 13.\)

c) \(\sqrt[3]{{2 – 3x}} \le 1\) \( \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{2 – 3x}})^3} \le {1^3}\) \( \Leftrightarrow 2 – 3x \le 1\) \( \Leftrightarrow 1 \le x.\)

d) \(\sqrt[3]{{3 – 4x}} \ge 5\) \( \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{3 – 4x}})^3} \ge {5^3}\) \( \Leftrightarrow 3 – 4x \ge 125\) \( \Leftrightarrow – \frac{{61}}{2} \ge x.\)

Bài tập 6:

a) \(\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.\sqrt[3]{{ – 12}}.\sqrt[3]{2}\) \( = \sqrt[3]{{\frac{{ – 12.2}}{3}}}\) \( = \sqrt[3]{{ – 8}} = – 2.\)

b) \(\sqrt[3]{9}.\left( {\frac{1}{3}\sqrt[3]{3} – \frac{1}{6}\sqrt[3]{{24}}} \right)\) \( = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{27}} – \frac{1}{6}\sqrt[3]{{216}}\) \( = \frac{1}{3}.3 – \frac{1}{6}.6 = 0.\)

c) \(\left( {\frac{1}{2}\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}} \right):2\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}\) \( = \frac{1}{4}\sqrt[3]{{27}} – \sqrt[3]{9} + \frac{3}{2}\) \( = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} – \sqrt[3]{9}\) \( = \frac{9}{4} – \sqrt[3]{9}.\)

Bài tập 7:

a) \(\sqrt[3]{{8\sqrt 5 + 16}}\) \( = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 5 + 2)}^3}}}\) \( = \sqrt 5 + 2.\)

b) \(\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}\) \( = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 3 + 2)}^3}}}\) \( = \sqrt 3 + 2.\)

Bài tập 8:

a) \((\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{{49}} – \sqrt[3]{{14}} + \sqrt[3]{4})\) \( = {(\sqrt[3]{3})^3} + {(\sqrt[3]{2})^3}\) \( = 3 + 2 = 5.\)

b) \((\sqrt[3]{5} – \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{15}} + \sqrt[3]{9})\) \( = {(\sqrt[3]{5})^3} – {(\sqrt[3]{3})^3}\) \( = 5 – 3 = 2.\)

c) \((\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{{49}} – \sqrt[3]{{14}} + \sqrt[3]{4})\) \( = {(\sqrt[3]{7})^3} + {(\sqrt[3]{2})^3}\) \( = 7 + 2 = 9.\)