đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán thpt năm học 2021 – 2022

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán Trung học Phổ thông năm học 2021 – 2022. Kỳ thi này đã được tổ chức vào ngày 04 và 05 tháng 03 năm 2022, là một sân chơi học thuật quan trọng, đánh giá năng lực và kiến thức chuyên sâu của học sinh THPT trên cả nước.

Bộ đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng linh hoạt các phương pháp giải toán. Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu:

1. Bài toán 1: Với mỗi cặp số nguyên dương (n;m) thỏa mãn n < m, gọi s(n;m) là số các số nguyên dương thuộc đoạn [n;m] và nguyên tố cùng nhau với m. Tìm tất cả các số nguyên dương m ≥ 2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện (điều kiện cụ thể không được cung cấp trong đoạn văn bản gốc). Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về lý thuyết số, đặc biệt là các khái niệm về số nguyên tố cùng nhau và hàm Euler.
2. Bài toán 2: Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của P(x) đều không vượt quá 2021 và Q(x) có ít nhất một hệ số lớn hơn 2021. Giả sử P(2022) = Q(2022) và P(x), Q(x) có chung nghiệm hữu tỷ p/q khác 0 (p và q nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng với mọi n. Nhận xét: Đây là một bài toán đại số phức tạp, yêu cầu thí sinh có kiến thức vững chắc về đa thức, nghiệm của đa thức và các tính chất liên quan.
3. Bài toán 3: Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu x_i là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ i.
   1. Tính số các bộ có thể có.
   2. Tính xác suất để có một số trong bằng tổng của ba số còn lại.
   3. Tính xác suất để có thể chia thành hai nhóm có tổng bằng nhau.
   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực xác suất thống kê, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các khái niệm về không gian mẫu, biến cố và cách tính xác suất.

Montoan.com hy vọng bộ đề thi này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới. Việc làm quen với các dạng bài tập khó và đa dạng như trong đề thi này sẽ giúp các em nâng cao khả năng giải quyết vấn đề và đạt được kết quả tốt nhất.