đề thi học kì 1 toán 9 năm 2020 – 2021 trường thpt chuyên hà nội – amsterdam

Đề thi học kỳ 1 Toán 9 năm học 2020 – 2021 trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam là một đề thi có cấu trúc rõ ràng, bao gồm 04 bài toán tự luận, được thiết kế để đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh trong chương trình Toán 9.

Thời gian làm bài 90 phút là đủ để học sinh có thể suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết và logic.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1: Hình học đường tròn

Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên tia Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.

• a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
• b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AME.
• c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
• d) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ox, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với Ax, cắt OM tại D. Chứng minh rằng A, D, P thẳng hàng.

Đây là một bài toán hình học điển hình, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức về tính chất tiếp tuyến, đối xứng, đường tròn nội tiếp và các định lý hình học cơ bản để giải quyết. Ý c) của bài toán có tính chất nâng cao, yêu cầu học sinh phải kết hợp kiến thức hình học với kỹ năng tối ưu hóa.

2. Bài toán 2: Giải phương trình

Giải phương trình: x² – 1 = 2√(2x + 1).

Bài toán này kiểm tra khả năng giải phương trình chứa căn thức của học sinh. Để giải bài toán này, học sinh cần thực hiện các phép biến đổi đại số một cách chính xác và cẩn thận.

3. Bài toán 3: Đại số – Tìm giá trị nhỏ nhất

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a – √a = √b – b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a² + b² + 2020/(√a + √b)².

Đây là một bài toán đại số yêu cầu học sinh phải sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số, đánh giá và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Điều kiện a – √a = √b – b đóng vai trò quan trọng trong việc đơn giản hóa biểu thức P.

Đánh giá chung:

Đề thi có độ khó tương đối cao, phù hợp với trình độ của học sinh chuyên Toán. Các bài toán được xây dựng một cách chặt chẽ, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng kiến thức vào thực tế của học sinh.

Ưu điểm của đề thi:

• Cấu trúc đề thi rõ ràng, mạch lạc.
• Nội dung đề thi bám sát chương trình học và có tính phân loại cao.
• Các bài toán có tính thách thức, khuyến khích học sinh suy nghĩ và sáng tạo.
• Đề thi có sự kết hợp hài hòa giữa kiến thức hình học và đại số.