giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: phép chia số phức

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập phép chia số phức trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản

Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho các bài tập về phép chia số phức trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản. Chúng tôi trình bày lời giải cụ thể, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến phép chia số phức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:

a) \(\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}.\)

b) \(\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}.\)

c) \(\frac{{5i}}{{2 – 3i}}.\)

d) \(\frac{{5 – 2i}}{i}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}\) \( = \frac{{(2 + i)(3 + 2i)}}{{{3^2} + {{( – 2)}^2}}}\) \( = \frac{4}{{13}} + \frac{7}{{13}}i.\)

b) \(\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{{(1 + i\sqrt 2 )(2 – i\sqrt 3 )}}{{{2^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}\) \( = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{7} + \frac{{2\sqrt 2 – \sqrt 3 }}{7}i.\)

c) \(\frac{{5i}}{{2 – 3i}}\) \( = \frac{{5i(2 + 3i)}}{{{2^2} + {{( – 3)}^2}}}\) \( = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}i.\)

d) \(\frac{{5 – 2i}}{i}\) \( = \frac{{(5 – 2i)( – i)}}{{{0^2} + {1^2}}}\) \( = – 2 – 5i.\)

Bài 2. Tìm nghịch đảo \(\frac{1}{z}\) của các số phức:

a) \({1 + 2i.}\)

b) \({\sqrt 2 – 3i.}\)

c) \({i.}\)

d) \(5 + i\sqrt 3 .\)

Lời giải:

a) Với \(z = 1 + 2i\) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{1 – 2i}}{{{1^2} + {{(2)}^2}}}\) \( = \frac{{1 – 2i}}{5} = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.\)

b) Với \(z = \sqrt 2 – 3i\) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{11}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{{11}} + \frac{3}{{11}}i.\)

c) Với \(z = i\) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{ – i}}{{{{(1)}^2}}} = – i.\)

d) Với \(z = 5 + i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{5 – i\sqrt 3 }}{{{5^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}\) \( = \frac{5}{{28}} – \frac{{\sqrt 3 }}{{28}}i.\)

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

a) \(2i(3 + i)(2 + 4i).\)

b) \(\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}.\)

c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i).\)

d) \(4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \(2i(3 + i)(2 + 4i)\) \( = 2i(2 + 14i)\) \( = – 28 + 4i.\)

b) \(\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}\) \( = \frac{{2i( – 8i)}}{{ – 2 + i}}\) \( = \frac{{16}}{{ – 2 + i}}\) \( = \frac{{16( – 2 – i)}}{{{{( – 2)}^2} + {1^2}}}\) \( = \frac{{ – 32}}{5} – \frac{{16}}{5}i.\)

c) \((3 + 2i) + (6 + i)(5 + i)\) \( = (3 + 2i) + (29 + 11i)\) \( = 32 + 13i.\)

d) \(4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}\) \( = 4 – 3i + \frac{{(5 + 4i)(3 – 6i)}}{{{3^2} + {6^2}}}\) \( = 4 – 3i + \frac{{39}}{{45}} – \frac{{18}}{{45}}i\) \( = \frac{{73}}{{15}} – \frac{{17}}{5}i.\)

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) \((3 – 2i)z + (4 + 5i)\) \( = 7 + 3i.\)

b) \((1 + 3i)z – (2 + 5i)\) \( = (2 + i)z.\)

c) \(\frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i)\) \( = 5 – 2i.\)

Lời giải:

a) \((3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\) \( \Leftrightarrow (3 – 2i)z = 3 – 2i\) \( \Leftrightarrow z = \frac{{3 – 2i}}{{3 – 2i}} = 1.\)

Vậy phương trình có một nghiệm \(z = 1.\)

b) \((1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z.\)

\( \Leftrightarrow (1 + 3i)z – (2 + i)z = 2 + 5i\) \( \Leftrightarrow ( – 1 + 2i)z = 2 + 5i.\)

\( \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{ – 1 + 2i}}\) \( = \frac{{(2 + 5i)( – 1 – 2i)}}{5}\) \( \Leftrightarrow z = \frac{8}{5} – \frac{9}{5}i.\)

c) \(\frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i) = 5 – 2i.\)

\( \Leftrightarrow \frac{z}{{4 – 3i}} = 3 + i\) \( \Leftrightarrow z = (4 – 3i)(3 + i)\) \( \Leftrightarrow z = 15 – 5i.\)

Vậy phương trình có một nghiệm là: \(z = 15 – 5i.\)

Đánh giá và nhận xét:

• Ưu điểm:
• Lời giải chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu, phù hợp với trình độ học sinh lớp 12.
• Trình bày theo từng bước, giúp học sinh nắm bắt được phương pháp giải.
• Đầy đủ các dạng bài tập cơ bản về phép chia số phức.
• Sử dụng ký hiệu toán học chuẩn xác.

Bài viết là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện môn Giải tích 12, đặc biệt là phần số phức.