giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, chương "Phương trình bậc hai với hệ số thực". Nội dung bao gồm các bài tập cơ bản về tìm căn bậc hai phức, giải phương trình bậc hai và phương trình trùng phương trên tập số phức, cũng như các bài tập liên quan đến định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai với nghiệm phức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.

Lời giải:

• Căn bậc hai phức của -7 là ± i√7.
• Căn bậc hai phức của -8 là ± i√8.
• Căn bậc hai phức của -12 là ± i√12.
• Căn bậc hai phức của -20 là ± i2√5.
• Căn bậc hai phức của -121 là ± 11i.

Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh nắm vững khái niệm căn bậc hai phức và cách tìm chúng từ một số thực âm.

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

1. -3z² + 2z – 1 = 0.
2. 7z² + 3z + 2 = 0.
3. 5z² – 7z + 11 = 0.

Lời giải:

1. -3z² + 2z – 1 = 0 ⇔ 3z² – 2z + 1 = 0.
   
   Δ’ = (-1)² – 3.1 = – 2 < 0.
   
   Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: z_1,2 = (1 ± i√2)/3.
2. 7z² + 3z + 2 = 0.
   
   Δ = 9 – 4.7.2 = – 47 < 0.
   
   Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: z_1,2 = (-3 ± i√47)/14.
3. 5z² – 7z + 11 = 0.
   
   Δ = 49 – 4.5.11 = – 171 < 0.
   
   Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: z_1,2 = (7 ± i√171)/10.

Nhận xét: Bài tập này củng cố kỹ năng giải phương trình bậc hai khi delta âm, dẫn đến nghiệm phức. Cách trình bày rõ ràng, dễ theo dõi.

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

1. z⁴ + z² – 6 = 0.
2. z⁴ + 7z² + 10 = 0.

Lời giải:

1. z⁴ + z² – 6 = 0.
   
   Đặt z² = t, ta thu được phương trình: t² + t – 6 = 0 ⇔ [t = 2, t = -3]
   
   Với t = 2, theo cách đặt ta có: z² = 2 ⇔ z = ± √2.
   
   Với t = -3, theo cách đặt ta có: z² = – 3 ⇔ z = ± i√3.
   
   Vậy phương trình có bốn nghiệm là: z₁ = √2 , z₂ = – √2, z₃ = i√3 và z₄ = – i√3.
2. z⁴ + 7z² + 10 = 0.
   
   Đặt z² = t, ta thu được phương trình: t² + 7t + 10 = 0 ⇔ [t = -5, t = -2].
   
   Với t = -5, theo cách đặt ta có: z² = – 5 ⇔ z = ± i√5.
   
   Với t = -2, theo cách đặt ta có: z² = – 2 ⇔ z = ± i√2.
   
   Vậy phương trình có bốn nghiệm là: z₁ = i√5, z₂ = – i√5, z₃ = i√2, z₄ = – i√2.

Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng giải phương trình trùng phương bằng cách đưa về phương trình bậc hai thông qua phép đặt ẩn phụ, sau đó tìm nghiệm phức.

Bài 4. Cho a,b,c ∈ R, a ≠ 0, z₁, z₂ là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình az² + bz + c = 0. Hãy tính z₁ + z₂ và z₁z₂ theo các hệ số a, b, c.

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai: az² + bz + c = 0, a ≠ 0 và a,b,c ∈ R.

Ta có: Δ = b² – 4ac.

• Nếu Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm thực z₁, z₂. Theo định lí Vi-ét ta có: z₁ + z₂ = – b/a và z₁z₂ = c/a.
• Nếu Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức:
  
  z₁ = (-b – i√|Δ|)/(2a), z₂ = (-b + i√|Δ|)/(2a).
  
  Suy ra:
  
  z₁ + z₂ = (-b – i√|Δ| – b + i√|Δ|)/(2a) = – b/a.
  
  z₁z₂ = ((-b – i√|Δ|) (-b + i√|Δ|))/(4a²) = c/a.

Tóm lại: Cho a,b,c ∈ R, a ≠ 0, z₁, z₂ là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình ax² + bx + c = 0. Ta luôn luôn có: z₁ + z₂ = – b/a và z₁z₂ = c/a.

Nhận xét: Bài tập này chứng minh định lý Vi-ét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với nghiệm phức, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số.

Bài 5. Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z ngang làm nghiệm.

Lời giải:

Giả sử z = a + bi và z ngang = a – bi là hai nghiệm của phương trình hệ số thực: Ax² + Bx + C = 0 (A ≠ 0) ⇔ x² – B/Ax + C/A = 0.

Theo bài 4 ta có: [z + z ngang = 2a = – B/A , z*z ngang = a² + b² = C/A ]

Vậy phương trình cần tìm là: x² + 2ax + a² + b² = 0.

Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh vận dụng định lý Vi-ét để xây dựng phương trình bậc hai từ hai nghiệm phức liên hợp, một ứng dụng quan trọng trong việc giải toán.