THCS
THCS
Chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc tài liệu hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong chương 2 của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm phần "Câu hỏi và Bài tập ôn tập chương 2" và "Bài tập trắc nghiệm khách quan". Tài liệu này được biên soạn với mục tiêu hỗ trợ học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt trong học tập.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 2
Bài 84. So sánh \(p\) và \(q\) biết:
Lời giải:
Gợi ý: \({\left( {\frac{2}{7}} \right)^{p – 2q}} = {\left( {\frac{7}{2}} \right)^{2q – p}}.\)
Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức về lũy thừa và cách so sánh các lũy thừa khi có cùng cơ số hoặc có thể đưa về cùng cơ số. Việc sử dụng các phép biến đổi tương đương một cách linh hoạt là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.
Bài 85. Cho \(x < 0.\) Chứng minh rằng: \(\sqrt {\frac{{ – 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)}^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)}^2}} }}} = \frac{{1 – {2^x}}}{{1 + {2^x}}}.\)
Lời giải:
Ta có: \(1 + \frac{1}{4}{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)^2}\) \( = \frac{1}{4}{\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)^2}.\)
\( \Rightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {\frac{1}{4}{{\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)}^2}} \) \( = \frac{1}{2}\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right).\)
\( – 1 + \frac{1}{2}\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)\) \( = \frac{{{2^x} – 2 + {2^{ – x}}}}{2}\) \( = \frac{{{{\left( {{2^{\frac{x}{2}}} – {2^{ – \frac{x}{2}}}} \right)}^2}}}{2}.\)
\(1 + \frac{1}{2}\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)\) \( = \frac{{{2^x} + 2 + {2^{ – x}}}}{2}\) \( = \frac{{{{\left( {{2^{\frac{x}{2}}} + {2^{ – \frac{x}{2}}}} \right)}^2}}}{2}.\)
\(VT = \left| {\frac{{{2^{\frac{x}{2}}} – {2^{ – \frac{x}{2}}}}}{{{2^{\frac{x}{2}}} + {2^{ – \frac{x}{2}}}}}} \right|\) \( = \left| {\frac{{{2^x} – 1}}{{{2^x} + 1}}} \right|\) \( = \frac{{1 – {2^x}}}{{1 + {2^x}}}\) (vì \(x < 0\)).
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi kỹ năng biến đổi biểu thức chứa căn và lũy thừa một cách khéo léo. Việc nhận ra các hằng đẳng thức và áp dụng điều kiện \(x < 0\) để phá dấu giá trị tuyệt đối là chìa khóa để giải bài.
Bài 86. Tính:
Lời giải:
Nhận xét: Bài tập này tập trung vào việc sử dụng các công thức biến đổi logarit và lũy thừa để đơn giản hóa biểu thức. Học sinh cần nắm vững các công thức này và biết cách áp dụng chúng một cách linh hoạt để giải quyết bài toán.
Bài 87. Chứng minh rằng: \({\log _2}3 /> {\log _3}4.\)
Lời giải:
Ta có \({\log _2}3 /> 0\), \({\log _3}4 /> 0.\)
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\(\frac{1}{{{{\log }_3}2}} /> {\log _3}4\) \( \Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\) \((1).\)
Mặt khác: \(\frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \ge \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} .\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} \) \( \le \frac{1}{2}{\log _3}8 < \frac{1}{2}{\log _3}9 = 1\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: Bài toán này yêu cầu học sinh sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) để chứng minh. Việc biến đổi bất đẳng thức ban đầu về một dạng thuận lợi hơn cho việc áp dụng AM-GM là một kỹ năng quan trọng.
Bài 88. Gọi \(c\) là cạnh huyền, \(a\) và \(b\) là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: \({\log _{b + c}}a + {\log _{c – b}}a\) \( = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c – b}}a.\)
Lời giải:
Theo giả thiết: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} = (c – b)(c + b).\)
Từ đó suy ra: \({\log _a}(c – b) + {\log _a}(c + b) = 2\) \( \Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_{c – b}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{c + b}}a}} = 2.\)
\( \Leftrightarrow {\log _{b + c}}a + {\log _{c – b}}a\) \( = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c – b}}a\) (điều phải chứng minh).
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về logarit và định lý Pythagoras trong tam giác vuông. Việc nhận ra mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác vuông và áp dụng các công thức biến đổi logarit một cách chính xác là rất quan trọng.
Bài 89. Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\) thỏa mãn hệ thức \(xy’ + 1 = {e^y}.\)
Lời giải:
Ta có: \(y’ = – \frac{1}{{1 + x}}.\) Từ đó suy ra \(xy’ + 1\) \( = – \frac{x}{{x + 1}} + 1\) \( = \frac{1}{{x + 1}} = {e^y}.\)
Nhận xét: Bài toán này liên quan đến việc tính đạo hàm của hàm số và chứng minh một hệ thức liên quan đến hàm số đó. Việc tính đạo hàm một cách cẩn thận và sử dụng định nghĩa của hàm số \(y\) là cần thiết.
Bài 90. Giả sử đồ thị \((G)\) của hàm số \(y = \frac{{{{(\sqrt 2 )}^x}}}{{\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm \(A\) và tiếp tuyến của \((G)\) tại \(A\) cắt trục hoành tại điểm \(B.\) Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác \(OAB\) (chính xác đến hàng phần nghìn).
Lời giải:
Cách 1: Tọa độ của \(A\) là: \(\left( {0;\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\) \( \Rightarrow OA = \frac{1}{{\ln 2}}.\)
Ta có: \(y’ = \frac{1}{2}{(\sqrt 2 )^x}\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((G)\) tại \(A\) là \(y'(0) = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}.\)
Trong tam giác \(OAB\), ta có \(\frac{{OA}}{{OB}} = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow OB = 2OA = \frac{2}{{\ln 2}}.\)
Do đó diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB\) \( = \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081.\)
Cách 2: Tiếp tuyến tại \(A\) có phương trình \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}}.\)
Suy ra tọa độ của \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}}}\\
{y = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{ – 2}}{{\ln 2}}}\\
{y = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow B\left( { – \frac{2}{{\ln 2}};0} \right).\)
\( \Rightarrow OB = \frac{2}{{\ln 2}}\) \( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB\) \( = \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081.\)
Nhận xét: Bài toán này liên quan đến việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và tính diện tích tam giác. Học sinh cần nắm vững kiến thức về đạo hàm và phương trình tiếp tuyến.
Bài 91. Kí hiệu \(M\) là một điểm thuộc đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x.\) Trong hai khẳng định \(a /> 1\) và \(0 < a < 1\), khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?
Lời giải:
Áp dụng tính chất của hàm số lôgarit đồng biến trên \((0; + \infty )\) khi \(a /> 1\), nghịch biến trên \((0; + \infty )\) khi \(0 < a < 1\), ta có:
Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số logarit. Học sinh cần nắm vững các tính chất này để xác định giá trị của \(a\).
Bài 92. Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon \(14\) (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon \(14\) nữa. Lượng cacbon \(14\) của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitrogen \(14.\) Biết rằng nếu gọi \(P(t)\) là số phần trăm cacbon \(14\) còn lại trong một bộ phận của một các cây sinh trưởng từ \(t\) năm trước thì \(P(t)\) được tính theo công thức \(P(t) = 100 \times {(0,5)^{\frac{t}{{5750}}}}\) \((\% ).\) Phân tích một mẩu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon \(14\) còn lại trong mẩu gỗ đó là \(65\% .\) Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.
Lời giải:
Ta có: \(f(0) = 100\% .\)
\(f(t) = 65\% \) \( \Leftrightarrow 100.{(0,5)^{\frac{t}{{5750}}}} = 65\) \( \Leftrightarrow t = 5750.{\log _{0,5}}0,65\) \( \Rightarrow t \approx 3574\) (năm).
Nhận xét: Bài toán này là một ứng dụng thực tế của hàm số mũ trong lĩnh vực khảo cổ học. Học sinh cần biết cách áp dụng công thức và giải phương trình để tìm ra niên đại của công trình kiến trúc.
Bài 93. Giải các phương trình:
Lời giải:
Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ. Việc đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ và sử dụng các phép biến đổi đại số là những kỹ năng quan trọng cần nắm vững.
Bài 94. Giải các phương trình:
Lời giải:
Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng giải phương trình logarit. Việc đặt điều kiện xác định, đưa về cùng cơ số và sử dụng các phép biến đổi đại số là những kỹ năng quan trọng cần nắm vững.
Bài 95. Giải phương trình \({4^x} – {3^x} = 1.\)
Lời giải:
Phương trình tương đương với \({4^x} = {3^x} + 1\) \( \Leftrightarrow 1 = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}.\)
Dễ thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy:
Vậy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
Nhận xét: Bài toán này yêu cầu học sinh tìm nghiệm của phương trình bằng phương pháp đánh giá. Việc nhận ra nghiệm \(x = 1\) và chứng minh tính duy nhất của nghiệm là một kỹ năng quan trọng.
Bài 96. Giải các hệ phương trình:
Lời giải:
