THCS
THCS
Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về phương trình mũ và logarit trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Nội dung tập trung vào phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập", bao gồm các dạng toán cơ bản và nâng cao, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Nội dung bài viết:
Bài viết trình bày lời giải cụ thể cho từng bài tập, đi kèm với các bước giải thích rõ ràng, dễ hiểu. Ngoài ra, một số bài tập còn được đưa ra nhiều cách giải khác nhau, giúp học sinh có cái nhìn đa chiều và linh hoạt hơn trong việc áp dụng kiến thức.
Ví dụ:
Bài 63:
a) \({(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 .\)
Lời giải:
{(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 ⇔ {(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = {(2 + \sqrt 3 )^{ – 1}} ⇔ 2x = – 1 ⇔ x = – \frac{1}{2}.
Cách khác: \({(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 – \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow {(2 – \sqrt 3 )^{ – 2x}} = 2 – \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}.
b) \({2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4.\)
Lời giải:
\({2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4\) \( \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 2\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 3} \end{array}} \right..\)
c) \({2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9.\)
Lời giải:
\({2.3^{x + 1}} – {6.3^{x – 1}} – {3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow {6.3^x} – {2.3^x} – {3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow {3.3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow {3^x} = 3\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
d) \({\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x.\)
Lời giải:
\({\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x\) \( \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}}\) \( \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x}\) \( \Leftrightarrow {8.3^x} = 8\) \( \Leftrightarrow {3^x} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
Bài 64:
a) \({\log _2}[x(x – 1)] = 1.\)
Lời giải:
\({\log _2}[x(x – 1)] = 1\) \( \Leftrightarrow x(x – 1) = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right..\)
b) \({\log _2}x + {\log _2}(x – 1) = 1.\)
Lời giải:
Điều kiện: \(x /> 1.\)
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với phương trình:
\({x^2} – x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1\,\,{\rm{(loại)}}}\\ {x = 2} \end{array}} \right..\)
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2.\)
Bài 65:
Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dễ dàng chọn đúng sóng radio cần tìm. Biết vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng \(d\) \((cm)\) thì ứng với tần số \(F = k.{a^d}\) \((kHz)\), trong đó \(k\) và \(a\) là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng bên trái ứng với tần số \(53kHz\), vạch tận cùng bên phải ứng với tần số \(160kHz\) và hai vạch này cách nhau \(12cm.\)
a) Hãy tính \(k\) và \(a\) (tính \(a\) chính xác đến hàng phần nghìn).
b) Giả sử đã cho \(F\), hãy giải phương trình \(k.{a^d} = F\) với ẩn \(d.\)
c) Áp dụng kết quả của b, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả chính xác đến hàng phần trăm).
Lời giải:
a) Theo giả thiết ta có: \(d = 0\) \( \Rightarrow F = 53\) \( \Leftrightarrow k.{a^0} = 53\) \( \Leftrightarrow k = 53.\)
Và \(d = 12\) \( \Rightarrow F = 160\) \( \Leftrightarrow k.{a^{12}} = 160\) \( \Leftrightarrow 53.{a^{12}} = 160\) \( \Leftrightarrow a = \sqrt[{12}]{{\frac{{160}}{{53}}}} \approx 1,096.\)
b) \(k.{a^d} = F\) \( \Leftrightarrow {a^d} = \frac{F}{k}\) \( \Leftrightarrow d = {\log _a}\frac{F}{k} = {\log _{\sqrt[{12}]{{\frac{{160}}{{53}}}}}}\left( {\frac{F}{{53}}} \right).\)
c) Từ câu b \( \Rightarrow d = 25,119.\lg F – 43,312.\)
(Do yêu cầu kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm).
Vậy ta có bảng:
Bài 66:
a) \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200.\)
Lời giải:
\({2^{x + 1}}{.5^x} = 200\) \( \Leftrightarrow {2.10^x} = 200\) \( \Leftrightarrow {10^x} = 100\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
Cách khác: \({2^{x + 1}}{.5^x} = 200\) \( \Leftrightarrow {2^{x + 1}}{.5^x} = {2^3}{.5^2}\) \( \Leftrightarrow {2^{x – 2}}{.5^{x – 2}} = 1\) \( \Leftrightarrow {10^{x – 2}} = 1.\)
\( \Leftrightarrow x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
b) \(0,{125.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}.\)
Lời giải:
\(0,{125.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}\) \( \Leftrightarrow {(0,5)^3}{.4^{2x – 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}.\)
\( \Leftrightarrow {2^{ – 3}}{.4^{2x – 3}} = {\left( {{{4.2}^{\frac{1}{2}}}} \right)^x}\) \( \Leftrightarrow {2^{ – 3}}{.2^{4x – 6}} = {\left( {{2^{\frac{5}{2}}}} \right)^x}.\)
\( \Leftrightarrow {2^{4x – 9}} = {2^{\frac{{5x}}{2}}}\) \( \Leftrightarrow 4x – 9 = \frac{{5x}}{2}\) \( \Leftrightarrow x = 6.\)
Bài 67:
a) \({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 .\)
Lời giải:
\({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 .\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = – {\log _2}\sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow {\log _2}x = – \frac{2}{3}{\log _2}\sqrt 3 .\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{3^{ – \frac{1}{3}}}\) \( \Leftrightarrow x = {3^{ – \frac{1}{3}}}.\)
b) \({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8.\)
Lời giải:
\({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8\) \( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x.\left( {\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right)\left( {\frac{1}{4}{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right) = 8.\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}x} \right)^3} = 64\) \( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 4\) \( \Leftrightarrow x = {(\sqrt 3 )^4} = 9.\)
Cách khác:
\({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8\) \( \Leftrightarrow 2{\log _3}x.{\log _3}x.\frac{1}{2}{\log _3}x = 8\) \( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^3} = 8.\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}x = 2\) \( \Leftrightarrow x = {3^2} = 9.\)
Bài 68:
a) \({3^{x + 1}} + {18.3^{ – x}} = 29.\)
Lời giải:
\({3^{x + 1}} + {18.3^{ – x}} = 29\) \( \Leftrightarrow {3.3^x} + 18.\frac{1}{{{3^x}}} = 29\) \( \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {29.3^x} + 18 = 0.\)
Đặt \(t = {3^x}\) \((t /> 0).\)
Phương trình trở thành \(3{t^2} – 29t + 18 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 9}\\ {t = \frac{2}{3}} \end{array}} \right..\)
+ Với \(t = 9\) \( \Rightarrow {3^x} = 9\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
+ Với \(t = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow {3^x} = \frac{2}{3}\) \( \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{2}{3}.\)
b) \({27^x} + {12^x} = {2.8^x}.\)
Lời giải:
\({27^x} + {12^x} = {2.8^x}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{3x}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} – 2 = 0.\)
Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}.\) Điều kiện \(t /> 0.\) Phương trình trở thành \({t^3} + t – 2 = 0.\)
\( \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow t = 1.\)
Với \(t = 1\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
Bài 69:
a) \({\lg ^2}{x^3} – 20\lg \sqrt x + 1 = 0.\)
Lời giải:
\({\lg ^2}{x^3} – 20\lg \sqrt x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 9{\lg ^2}x – 10\lg x + 1 = 0.\)
Đặt \(t = \lg x.\)
Phương trình trở thành: \(9{t^2} – 10t + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 1}\\ {t = \frac{1}{9}} \end{array}} \right..\)
+ Với \(t = 1\) \( \Rightarrow \lg x = 1\) \( \Leftrightarrow x = 10.\)
+ Với \(t = \frac{1}{9}\) \( \Rightarrow \lg x = \frac{1}{9}\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt[9]{{10}}.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 10\) và \(x = \sqrt[9]{{10}}.\)
b) \(\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}.\)
Lời giải:
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x /> 0}\\ {x \ne \frac{1}{2}}\\ {x \ne \frac{1}{8}} \end{array}} \right..\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\frac{{{{\log }_2}x}}{{\frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)}}{{\frac{1}{4}\left( {3 + {{\log }_2}x} \right)}}\) \( \Leftrightarrow \log _2^2x + 3{\log _2}x – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_2}x = 1}\\ {{{\log }_2}x = – 4} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2}\\ {x = \frac{1}{{16}}} \end{array}} \right..\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}.\)
c) \({\log _{9x}}27 – {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0.\)
Lời giải:
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x /> 0}\\ {x \ne \frac{1}{9}}\\ {x \ne \frac{1}{3}} \end{array}} \right..\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\frac{3}{{2 + {{\log }_3}x}} – \frac{1}{{1 + {{\log }_3}x}} + \frac{5}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow 5\log _3^2x + 19{\log _3}x + 12 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_3}x = – 3}\\ {{{\log }_3}x = – \frac{4}{5}} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {3^{ – 3}}}\\ {x = {3^{ – \frac{4}{5}}}} \end{array}} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {{3^{ – 3}};{3^{ – \frac{4}{5}}}} \right\}.\)
Bài 70:
a) \({3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}.\)
Lời giải:
\({3^{{4^x}}} = {4^{{3^x}}}\) \( \Leftrightarrow {4^x} = {3^x}{\log _3}4\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = {\log _3}4\) \( \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right).\)
b) \({3^{2 – {{\log }_3}x}} = 81x.\)
Lời giải:
Điều kiện: \(x /> 0.\)
Lấy logarit hai vế ta được:
\(2 – {\log _3}x = 4 + {\log _3}x\) \( \Leftrightarrow {\log _3}x = – 1\) \( \Leftrightarrow x = {3^{ – 1}}.\)
c) \({3^x}{.8^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36.\)
Lời giải:
Điều kiện: \(x \ne – 1.\)
Logarit hóa hai vế ta được:
\(x + \frac{x}{{x + 1}}{\log _3}8 = {\log _3}36\) \( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_3}2 – 1} \right)x – \left( {2 + 2{{\log }_3}2} \right) = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2}\\ {x = – \left( {1 + {{\log }_3}2} \right)} \end{array}} \right..\)
d) \({x^6}{.5^{ – {{\log }_x}5}} = {5^{ – 5}}.\)
Lời giải:
Điều kiện: \(0 < x \ne 1.\)
Logarit hóa hai vế theo cơ số \(x\) ta được:
\(6 + \left( { – {{\log }_x}5} \right){\log _x}5 = – 5{\log _x}5\) \( \Leftrightarrow \log _x^25 – 5{\log _x}5 – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_x}5 = – 1}\\ {{{\log }_x}5 = 6} \end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^{ – 1}} = 5}\\ {{x^6} = 5} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {5^{ – 1}}}\\ {x = \sqrt[6]{5}} \end{array}} \right..\)
Bài 71:
a) \({2^x} = 3 – x.\)
Lời giải:
Ta thấy \(x = 1\) là nghiệm. Ta chứng minh \(x = 1\) là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
+ \(x < 1:\)
\({2^x} < {2^1} = 2.\)
\(3 – x /> 3 – 1 = 2.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {VT < 2}\\ {VP /> 2} \end{array}} \right..\)
Phương trình vô nghiệm với \(x < 1.\)
+ \(x /> 1:\)
\({2^x} /> {2^1} = 2.\)
\(3 – x < 3 – 1 = 2.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {VT /> 2}\\ {VP < 2} \end{array}} \right..\)
Phương trình vô nghiệm với \(x /> 2.\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1.\)
b) \({\log _2}x = 3 – x.\)
Lời giải:
Điều kiện: \(x /> 0.\)
Dễ thấy \(x = 2\) là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh \(x = 2\) là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
+ \(x /> 2:\)
\({\log _2}x /> {\log _2}2 = 1.\)
\(3 – x < 3 – 2 = 1.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {VT /> 1}\\ {VP < 1} \end{array}.} \right.\)
Phương trình vô nghiệm với \(x /> 2.\)
+ \(0 < x < 2:\)
\({\log _2}x < {\log _2}2 = 1.\)
\(3 – x /> 3 – 2 = 1.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {VT < 1}\\ {VP /> 1} \end{array}} \right..\)
Phương trình vô nghiệm với \(0 < x < 2.\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)
Ưu điểm:
Chi tiết và dễ hiểu: Lời giải được trình bày một cách chi tiết, từng bước một, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải.
Đa dạng cách giải: Một số bài tập được giải bằng nhiều cách khác nhau, giúp học sinh mở rộng tư duy và lựa chọn phương pháp phù hợp nhất.
Đầy đủ các dạng toán: Bài viết bao gồm nhiều dạng toán khác nhau về phương trình mũ và logarit, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh ôn luyện toàn diện.
Tính ứng dụng cao: Bài viết không chỉ tập trung vào việc giải toán mà còn đưa ra các ví dụ thực tế (ví dụ bài 65 về sóng radio), giúp học sinh thấy được ứng dụng của kiến thức trong đời sống.
Bài viết là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 trong quá trình học tập và ôn luyện môn Giải tích, đặc biệt là phần phương trình mũ và logarit.
