giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: số e và lôgarit tự nhiên

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của chương "Số e và Lôgarit tự nhiên" trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bài tập, phân tích đề bài, đưa ra lời giải chi tiết và đánh giá phương pháp giải.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 42. Tìm sai lầm trong lập luận sau: Ta có \(\ln {e^2} = 2\ln e\) \( = 2.1 = 2\) và \(\ln (2e) = \ln e + \ln e\) \( = 1 + 1 = 2.\) Từ đó suy ra \({e^2} = 2e\), mà \(e \ne 0\) nên \(e = 2.\)

Lời giải:

Lập luận trên sai lầm ở bước \(\ln (2e) = \ln e + \ln e.\) Phép biến đổi này không đúng với quy tắc lôgarit. Lập luận đúng phải là: \(\ln (2e) = \ln 2 + \ln e.\)

Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức về các tính chất của lôgarit, đặc biệt là lôgarit của một tích. Việc chỉ ra lỗi sai trong lập luận giúp học sinh hiểu rõ hơn về các điều kiện áp dụng của các công thức.

Bài 43. Biểu diễn các số sau đây theo \(a = \ln 2\), \(b = \ln 5.\) \(\ln 500\); \(\ln \frac{{16}}{{25}}\); \(\ln 6,25\); \(\ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ldots + \ln \frac{{98}}{{99}} + \ln \frac{{99}}{{100}}.\)

Lời giải:

• \(\ln 500 = \ln 125.4\) \( = \ln {5^3} + \ln {2^2}\) \( = 3\ln 5 + 2\ln 2\) \( = 3b + 2a.\)
• \(\ln \frac{{16}}{{25}} = \ln 16 – \ln 25\) \( = \ln {2^4} – \ln {5^2}\) \( = 4\ln 2 – 2\ln 5\) \( = 4a – 2b.\)
• \(\ln 6,25 = \ln \frac{{625}}{{100}}\) \( = \ln 625 – \ln 100\) \( = \ln {5^4} – \ln 25.4\) \( = 4\ln 5 – 2\ln 5 – 2\ln 2.\) \( = 2\ln 5 – 2\ln 2\) \( = 2b – 2a.\)
• \(\ln \frac{1}{2}.\frac{2}{3} \ldots \frac{{98}}{{99}}.\frac{{99}}{{100}}\) \( = \ln \frac{1}{{100}} = – \ln 100\) \( = – \ln 25.4\) \( = – \left( {\ln {5^2} + \ln {2^2}} \right)\) \( = – 2b – 2a.\)

Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng biến đổi lôgarit, đặc biệt là việc sử dụng các tính chất của lôgarit để đưa về các biểu thức đơn giản hơn. Dạng bài này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi.

Bài 44. Chứng minh \(\frac{7}{{16}}\ln (3 + 2\sqrt 2 )\) \( – 4\ln (\sqrt 2 + 1)\) \( – \frac{{25}}{8}\ln (\sqrt 2 – 1) = 0.\)

Lời giải:

Ta biến đổi vế trái \( = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{\frac{7}{{16}}}}\) \( – \ln {(\sqrt 2 + 1)^4}\) \( – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{\frac{7}{{16}}}}\) \( – \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^2}\) \( – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln \frac{{{{(3 + 2\sqrt 2 )}^{\frac{7}{{16}}}}}}{{{{(3 + 2\sqrt 2 )}^2}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}\) \( = \ln {(3 + 2\sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{{16}}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {(\sqrt 2 – 1)^{\frac{{25}}{8}}}.\)

\( = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\frac{{25}}{8}}}\) \( = \ln {(1 + \sqrt 2 )^{ – \frac{{25}}{8}}} – \ln {(\sqrt 2 + 1)^{ – \frac{{25}}{8}}}\) \( = 0.\)

Nhận xét: Bài tập này đòi hỏi kỹ năng biến đổi biểu thức lôgarit phức tạp, kết hợp với khả năng nhận diện các hằng đẳng thức đặc biệt. Việc chứng minh đẳng thức giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và khả năng biến đổi toán học.

Bài 45. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \((r /> 0)\), \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là \(100\) con và sau \(5\) giờ có \(300\) con. Hỏi sau \(10\) giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi.

Lời giải:

Sau \(5\) giờ: Từ công thức \(S = A.{e^{rt}}\) ta có \(300 = 100.{e^{r.5}}\) \( \Rightarrow 3 = {e^{r.5}}\) \( \Leftrightarrow 5r = \ln 3.\)

\( \Rightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}.\)

Sau \(10\) giờ số lượng vi khuẩn là \(S = A.{e^{rt}} = 100.{e^{\frac{{\ln 3}}{5}.10}}.\)

\( \Rightarrow S = 100.{e^{2\ln 3}}\) \( = 100.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {100.3^2}\) \( = 100.9 = 900\) (con).

Để số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi thì: \(t = \frac{{\ln \frac{S}{A}}}{r} = \frac{{\ln \frac{{200}}{{100}}}}{{\frac{{\ln 3}}{5}}} = 5\frac{{\ln 2}}{{\ln 3}}.\)

\( \Rightarrow t = \) \(3\) giờ \(9\) phút.

Nhận xét: Bài tập này là một ví dụ điển hình về ứng dụng của hàm số mũ và lôgarit trong thực tế, cụ thể là trong bài toán tăng trưởng. Bài tập giúp học sinh làm quen với việc mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên bằng các công thức toán học.

Bài 46. Cho biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ Plutanium \(P{u^{239}}\) là \(24360\) năm (tức là một lượng \(P{u^{239}}\) sau \(24360\) năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là lượng chất phóng xạ ban đầu, \(r\) là tỉ lệ phân hủy hàng năm \((r < 0)\), \(t\) là thời gian phân hủy, \(S\) là lượng còn lại sau thời gian phân hủy \(t.\) Hỏi \(10\) gam \(P{u^{239}}\) sau bao nhiêu năm sẽ phân hủy còn \(1\) gam?

Lời giải:

Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm:

Ta có \(\frac{1}{2}A = A.{e^{r.24360}}\) \( \Rightarrow \frac{1}{2} = {e^{r.24360}}\) \( \Rightarrow r = \frac{{\ln \frac{1}{2}}}{{24360}} = – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.\)

Gọi \({t_0}\) là thời gian mà \(10\) gam \(P{u^{239}}\) phân hủy còn \(1\) gam ta có:

\(1 = 10.{e^{ – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} = {e^{ – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}}}.\)

\( \Rightarrow – \ln 10 = – \frac{{\ln 2}}{{24360}}.{t_0}\) \( \Leftrightarrow {t_0} = 24360.\frac{{\ln 10}}{{\ln 2}} = 82235\) (năm).

Nhận xét: Tương tự bài 45, bài này cũng minh họa cho ứng dụng của hàm số mũ và lôgarit, nhưng trong bối cảnh phân rã phóng xạ. Bài tập giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm khoa học thông qua toán học.