THCS
THCS
Chúng tôi xin giới thiệu hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về bất phương trình mũ và lôgarit trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm cả phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập". Tài liệu này được biên soạn nhằm cung cấp một nguồn tham khảo đáng tin cậy, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 80. Giải các bất phương trình:
Lời giải:
a) \( {2^{3 – 6x}} > 1 \Leftrightarrow {2^3} > {2^{6x}} \Leftrightarrow 3 > 6x \Leftrightarrow x < \frac{1}{2} \)
b) \( {16^x} > 0,125 \Leftrightarrow {2^{4x}} > {2^{ – 3}} \Leftrightarrow 4x > – 3 \Leftrightarrow x > – \frac{3}{4} \)
Nhận xét: Bài tập 80 là những bài cơ bản, giúp học sinh làm quen với việc sử dụng tính chất của hàm mũ để giải bất phương trình. Ưu điểm của lời giải là trình bày ngắn gọn, dễ hiểu, đi thẳng vào vấn đề.
Bài 81. Giải các bất phương trình:
Lời giải:
a) \( {\log _5}(3x – 1) < 1 \)
Điều kiện: \( x > \frac{1}{3} \)
Bất phương trình \( \Leftrightarrow {\log _5}(3x – 1) < {\log _5}5 \Leftrightarrow 3x – 1 < 5 \Leftrightarrow x < 2 \)
Kết hợp với điều kiện ta được \( \frac{1}{3} < x < 2 \)
b) \( {\log _{\frac{1}{3}}}(5x – 1) > 0 \)
Điều kiện: \( 5x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{5} \)
Bất phương trình tương đương với: \( 5x – 1 < 1 \Leftrightarrow x < \frac{2}{5} \)
Kết hợp với điều kiện ta được: \( \frac{1}{5} < x < \frac{2}{5} \)
c) \( {\log _{0,5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) \ge – 1 \)
Điều kiện: \( {x^2} – 5x + 6 > 0 \)
Bất phương trình tương đương với: \( {x^2} – 5x + 6 \le {(0,5)^{ – 1}} \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 4 \le 0 \)
\( \Leftrightarrow 1 \le x \le 4 \)
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm \( S = (1;2) \cup (3;4] \)
Cách khác:
\( {\log _{0,5}}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) \ge – 1 \Leftrightarrow 0 < {x^2} – 5x + 6 \le {(0,5)^{ – 1}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 5x + 6 > 0} \\ {{x^2} – 5x + 4 \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < 2\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 3} \\ {1 \le x \le 4} \end{array}} \right. \)
\( \Leftrightarrow 1 \le x < 2 \) hoặc \( 3 < x \le 4 \)
Tập nghiệm: \( S = [1;2) \cup (3;4] \)
d) \( {\log _3}\frac{{1 – 2x}}{x} \le 0 \)
Điều kiện: \( x \ne 0 \) và \( \frac{{1 – 2x}}{x} > 0 \)
Bất phương trình trên tương đương với: \( 0 < \frac{{1 – 2x}}{x} \le 1 \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{1 – 2x}}{x} > 0} \\ {\frac{{1 – 3x}}{x} \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < x < \frac{1}{2}} \\ {x \ge \frac{1}{3}\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2} \)
Tập nghiệm của bất phương trình là: \( S = \left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right) \)
Nhận xét: Bài 81 phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải nắm vững điều kiện xác định của hàm lôgarit và cách biến đổi bất phương trình lôgarit. Câu c) đưa ra hai cách giải, giúp học sinh có cái nhìn đa chiều và lựa chọn phương pháp phù hợp. Ưu điểm của lời giải là trình bày chi tiết từng bước, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu được cách giải.
Bài 82. Giải các bất phương trình:
Lời giải:
a) \( \log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x – 2 \le 0 \)
Đặt \( t = {\log _{0,5}}x \)
Ta được: \( {t^2} + t – 2 \le 0 \)
\( \Leftrightarrow – 2 \le t \le 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_{0,5}}x \ge – 2} \\ {{{\log }_{0,5}}x \le 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le {{(0,5)}^{ – 2}}} \\ {x \ge {{(0,5)}^1}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 0,5 \le x \le 4 \)
b) \( {2^x} + {2^{ – x + 1}} – 3 < 0 \Leftrightarrow {2^{2x}} – {3.2^x} + 2 < 0 \)
Đặt \( t = {2^x} \) \( (t > 0) \), ta được: \( {t^2} – 3t + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 2 \)
\( \Rightarrow 1 < {2^x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \)
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình \( S = (0;1) \)
Nhận xét: Bài 82 giới thiệu phương pháp đặt ẩn phụ để giải bất phương trình mũ và lôgarit. Ưu điểm của lời giải là trình bày rõ ràng cách đặt ẩn phụ và giải bất phương trình theo ẩn mới, giúp học sinh nắm vững kỹ năng này.
Bài 83. Giải các bất phương trình:
Lời giải:
a) \( {\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x – 2} \right) > {\log _{0,1}}(x + 3) \)
\( \Leftrightarrow 0 < {x^2} + x – 2 < x + 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x – 2 > 0} \\ {{x^2} – 5 < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < – 2\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 1} \\ { – \sqrt 5 < x < \sqrt 5 } \end{array}} \right. \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( S = ( – \sqrt 5 ; – 2) \cup (1;\sqrt 5 ) \)
b) \( {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 – x) \ge 0 \)
Điều kiện: \( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2 – x > 0} \\ {{x^2} – 6x + 5 > 0} \end{array}} \right. \)
Ta có: \( {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 – x) \ge 0 \)
\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) \ge – {\log _3}{(2 – x)^2} \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) \ge {\log _{\frac{1}{3}}}{(2 – x)^2} \)
\( \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 5 \le {(2 – x)^2} \Leftrightarrow 2x – 1 \ge 0 \)
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 6x + 5 > 0} \\ {2 – x > 0} \\ {2x – 1 \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < 1\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 5} \\ {x < 2} \\ {x \ge \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x < 1 \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( S = \left[ {\frac{1}{2};1} \right) \)
Nhận xét: Bài 83 là những bài toán phức tạp, kết hợp nhiều kỹ năng như giải bất phương trình bậc hai, biến đổi lôgarit và giải hệ bất phương trình. Ưu điểm của lời giải là trình bày cẩn thận từng bước, đặc biệt là việc kết hợp điều kiện để tìm ra tập nghiệm cuối cùng.
Tóm lại, tài liệu hướng dẫn giải này là một nguồn tài liệu hữu ích cho học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện môn Giải tích 12, đặc biệt là phần bất phương trình mũ và lôgarit. Các bài giải được trình bày chi tiết, dễ hiểu, đi kèm với nhận xét và đánh giá, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
