giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: nguyên hàm

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chương về "Nguyên hàm". Nội dung bao gồm lời giải cụ thể cho từng bài, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến nguyên hàm.

Ưu điểm nổi bật:

• Tính chi tiết: Mỗi bài tập đều được giải một cách cẩn thận, từng bước rõ ràng, giúp người học dễ dàng theo dõi và hiểu được phương pháp giải.
• Đầy đủ: Bài viết bao quát nhiều dạng bài tập nguyên hàm cơ bản, từ tính nguyên hàm trực tiếp đến sử dụng các công thức và biến đổi.
• Dễ hiểu: Cách trình bày mạch lạc, ngôn ngữ dễ hiểu, phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12.

Dưới đây là lời giải chi tiết cho một số bài tập điển hình:

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

• a) \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}.\)
• b) \(f(x) = 2{x^3} – 5x + 7.\)
• c) \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}.\)
• d) \(f(x) = {x^{ – \frac{1}{3}}}.\)
• e) \(f(x) = {10^{2x}}.\)

Lời giải:

• a) Ta có: \(\int {\left( {3{x^2} + \frac{x}{2}} \right)dx} \) \( = \int 3 {x^2}dx + \int {\frac{x}{2}} dx\) \( = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.\) Vậy nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}\) là \(F(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.\)
• b) Tương tự câu a ta có: \(\int {\left( {2{x^3} – 5x + 7} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^4}}}{2} – \frac{5}{2}{x^2} + 7x + C.\)
• c) Xét \(\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} \) \( = \int {\left( {{x^{ – 2}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C.\) \( = – \frac{1}{x} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C.\)
• d) Xét: \(\int {\left( {{x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – \frac{1}{3} + 1}}}}{{ – \frac{1}{3} + 1}}\) \( = \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C\) \( = \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C.\)
• e) Ta có: \(\int 1 {0^{2x}}dx = \frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.\ln 10}} + C.\)

Bài 2. Tìm:

• a) \(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} .\)
• b) \(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} .\)
• c) \(\int 4 {\sin ^2}xdx.\)
• d) \(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} .\)

Lời giải:

• a) Ta có: \(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} \) \( = \int {\left( {{x^{1/2}} + {x^{1/3}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C.\) \( = 2\frac{{x\sqrt x }}{3} + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C.\)
• b) Ta có: \(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} \) \( = \int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{x} + \frac{{\sqrt x }}{{{x^2}}}} \right)dx} \) \( = \int {\left( {{x^{ – 1}}.{x^{1/2}} + {x^{ – 2}}.{x^{1/2}}} \right)dx} .\) \( = \int {\left( {{x^{ – 1/2}} + {x^{ – 3/2}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – \frac{1}{2} + 1}}}}{{ – \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{ – \frac{3}{2} + 1}}}}{{ – \frac{3}{2} + 1}} + C\) \( = 2\sqrt x – 2\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} + C.\)
• c) Ta có: \(\int 4 {\sin ^2}xdx\) \( = 2\int {(1 – \cos 2x)dx} \) \( = 2\left( {x – \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C\) \( = 2x – \sin 2x + C.\)
• d) Ta có: \(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} \) \( = \frac{1}{2}\int {(1 + \cos 4x)dx} \) \( = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C.\) \( = \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C.\)

Bài 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Nguyên hàm của hàm \(y = x.\sin x\) là:

• (A) \({x^2}\sin \frac{x}{2} + C.\)
• (B) \( – x.\cos x + C.\)
• (C) \( – x \cdot \cos x + \sin x + C.\)

Lời giải:

Khẳng định (C). Có thể dùng nguyên hàm từng phần:

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {dv = \sin xdx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dx}\\ {v = – \cos x} \end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow \int x \sin xdx\) \( = – x\cos x + \int {\cos xdx} \) \( = – x\cos x + \sin x + C.\)

Bài 4. Khẳng định sau đúng hay sai: Nếu \(f(x) = (1 – \sqrt x )’\) thì \(\int f (x)dx = – \sqrt x + C.\)

Lời giải:

Khẳng định đúng. Vì: \(f(x) = (1 – \sqrt x )’ = ( – \sqrt x )’.\)